¿Cómo resolverías [matemáticas] \ sqrt [3] {\ frac {1} {a}} + \ sqrt [3] {\ frac {1} {b}} + \ sqrt [3] {\ frac {1} {c}} = \ sqrt [3] {\ frac {1} {a + b + c}} [/ math]?

Answer 1

Primero, tenga en cuenta que si tenemos una única solución [matemáticas] (a, b, c) [/ matemáticas], entonces podemos obtener otra solución multiplicando las tres coordenadas por cualquier constante. Entonces, podemos simplificar el problema tomando [math] c [/ math] como [math] 1 [/ math].

En segundo lugar, simplifique la notación sustituyendo [math] A = \ sqrt [3] {a} [/ math] y [math] B = \ sqrt [3] {b} [/ math]. Entonces, ahora estamos tratando de resolver

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {1} {A} + \ displaystyle \ frac {1} {B} + 1 = \ displaystyle \ frac {1} {\ sqrt [3] {A ^ 3 + B ^ 3 + 1 }}[/matemáticas] .

Al trazar esto, tres líneas rectas en la trama revelan tres conjuntos de soluciones algo triviales:

1. [matemática] A = -1 [/ matemática]: cualquier valor distinto de cero para [matemática] B [/ matemática] da una solución;
2. [matemática] B = -1 [/ matemática]: cualquier valor distinto de cero para [matemática] A [/ matemática] da una solución;
3. [matemática] A = – B [/ matemática], para todos los que no sean cero [matemática] A, B [/ matemática].

Para cada una de estas líneas de solución, podemos multiplicar por [matemáticas] c [/ matemáticas] para recuperar una línea de solución [matemáticas] (a, b, c) [/ matemáticas].

Finalmente, la gráfica también tiene una curva de solución que se aproxima asintóticamente a la tercera línea de solución en ambas direcciones, desde abajo. Si giramos nuestros ejes de coordenadas 45 grados, [matemática] x = A – B [/ matemática] y [matemática] y = A + B [/ matemática], la forma de esta curva se ve como

[matemáticas] y = \ displaystyle \ frac {-1} {1 + \ left | x \ right | ^ 3} [/ math],

de modo que en el plano [matemático] A, B [/ matemático], esta curva [matemática] x, y [/ matemática] está inclinada 45 grados.

La solución simbólica de Mathematica para esta última curva es terriblemente desordenada, pero quizás esto se deba a la gráfica rotada.