N es un número entero y el producto de todos sus factores es igual a N ^ 2. La suma de todos los factores de N, excluyendo N, es 57. ¿Cuántos valores hay?

El producto de los factores es N ^ 2. Entonces tiene 4 factores que son 1, -1, N, -N. La suma de todos los factores excepto N es 57. Entonces,

1–1-N = 57.

Por lo tanto, N = -57.

Si no incluimos factores negativos, los factores serían 1, N, x, y donde x * y = N

Entonces, 1 + x + y = 57.

x + y = 56.

x + N / x = 56

x ^ 2–56x + N = 0

x = {56 [matemáticas] +/- [/ matemáticas] √ (56 ^ 2–4N)} / 2

x = 28 [matemáticas] +/- [/ matemáticas] √ (28 ^ 2-N)

x = 28 +/- k

Para que x sea un factor, debería ser un número entero positivo. Entonces 784-N debería ser un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, para N tenemos que encontrar diferentes 784-k ^ 2 donde k es un no natural.

Debe haber 4 factores, por lo que el factor x debe ser primo para no tener más factores. El primer no. por debajo de 28 son 23,19,17,13,11,7,5,3,2. Entonces, el valor a restar de 28 para obtener estos es k = 5,9,11,15,17,21,23,25,26 resp.

29,31,37,41,43,47,53 son los números primos por encima de 28 y por debajo de 56. Entonces, además de 28 para obtener estos no. son k = 1,3,9,13,15,19,25.

El valor común de k en ambos es 9,15,25. Si ponemos estos no. como k obtendremos N como 159,559,703

Pero estamos ignorando los cuadrados de arriba que tienen factores comunes. Tenemos que tomar cuadrados de primo no. (3,9), (5,25), (7,49). La suma debe ser 56, que se cumple con 7,49.

Por lo tanto, 159,343,559,703 son los valores que satisfacen la condición para N

Hay 3 valores (159,559,703). Y he considerado que tiene factores positivos o de lo contrario todos los factores se sumarán a cero y la segunda condición no se cumplirá. Espero que ayude a Cheers!