¿Cómo se usan las declaraciones condicionales en matemáticas?

Las declaraciones condicionales se pueden usar para definir funciones especiales en matemáticas que a menudo se usan en álgebra, informática y se pueden encontrar en casi cualquier campo que implique alguna forma de matemáticas.

Una función muy simple es la función absoluta que se define usando la expresión condicional

[matemáticas] abs (x) =
\ begin {cases}
x, & \ text {if} x \ geq 0 \\
-x, & \ text {de lo contrario}
\ end {cases} [/ math]

Esta función se puede encontrar en el cálculo vectorial con un nombre diferente: la función “magnitud” o [math] | \ mathbb {x} | [/matemáticas].

Otra función común es la función máxima que determina el valor más grande entre dos valores. Esto se define como

[matemáticas] max (x, y) =
\ begin {cases}
x, & \ text {if} x \ geq y \\
y, & \ text {de lo contrario}
\ end {casos}
[/matemáticas]

Si bien las funciones condicionales presentadas anteriormente son relativamente simples, las funciones más complejas se escriben de esta manera.

Cabe señalar que las funciones condicionales pueden ser no convexas, discontinuas y perder algunas características especiales como ser invertible a diferencia de las funciones algebraicas tradicionales (como [matemáticas] f (x) = x ^ 2 [/ matemáticas]). Como resultado, las funciones condicionales se explican principalmente en una rama de las matemáticas conocida como matemáticas discretas.

Las declaraciones condicionales de la forma [matemática] A \ implica B [/ matemática] (leer [matemática] A [/ matemática] implica [matemática] B [/ matemática]) se utilizan para hacer inferencias lógicas.

Cómo inferir que la implicación A implica que B es verdadera

Podemos inferir que [matemáticas] A \ implica que B [/ matemáticas] es verdadero en una de cinco formas:

  1. Dado que [matemática] A [/ matemática] es verdadera, podemos demostrar que [matemática] B [/ matemática] debe ser cierta.
  2. Dado que [math] B [/ math] es falso, podemos probar que [math] A [/ math] debe ser falso.
  3. Dado que [matemática] A [/ matemática] es verdadera y [matemática] B [/ matemática] es falsa, podemos obtener una contradicción.
  4. Dado [matemáticas] A [/ matemáticas] es falso.
  5. Dado [matemáticas] B [/ matemáticas] es cierto.

Cómo inferir que la implicación A implica que B es falsa

Podemos inferir que [matemática] A \ implica que B [/ matemática] es falsa al mostrar que [matemática] A [/ matemática] es verdadera y [matemática] B [/ matemática] es falsa.

¿Qué pasa si la implicación A implica que B es verdadera?

Supongamos que se nos da que [matemáticas] A \ implica que B [/ matemáticas] es verdadero. Entonces podemos hacer las siguientes inferencias:

  1. Dado que [math] A [/ math] es verdadero, podemos inferir que [math] B [/ math] es verdadero.
  2. Dado que [matemática] B [/ matemática] es falsa, podemos inferir que [matemática] A [/ matemática] es falsa.

¿Qué pasa si la implicación A implica que B es falsa?

Supongamos que se nos da que [matemáticas] A \ implica que B [/ matemáticas] es falso. Entonces podemos inferir que [matemática] A [/ matemática] es verdadera y [matemática] B [/ matemática] es falsa.

Tenga en cuenta que cada una de las reglas anteriores puede derivarse de la definición:

[matemáticas] A \ implica B \ espacio \ equiv \ espacio \ neg [A \ tierra \ neg B] [/ matemáticas]