Soy un número entero de cuatro dígitos ‘n’. Obtener los últimos cuatro dígitos de mi cuadrado (n ^ 2) te dará mi número original. Que numero soy

Un número cuyo cuadrado termina en el número mismo se conoce como un número automorfo . En este caso, el único número entero automórfico de 4 dígitos es [matemática] 9376 [/ matemática] como [matemática] 9376 ^ 2 = 8790 \ subrayado {9376} [/ matemática]. Por lo tanto, [matemáticas] n = 9376 [/ matemáticas].

Los números automórficos se basan principalmente en varias fórmulas y teorías modulares complicadas, pero el hecho más obvio es que los números automórficos deben terminar en 5 o 6.

Para cualquier valor de n, solo existen dos números automórficos de n dígitos y estos terminan en los dígitos 5 o 6.

Esto se debe simplemente a que 5 y 6 son los únicos dos números que, al cuadrado, darán como resultado un número que termina en 5 o 6 respectivamente ([matemáticas] 5 ^ 2 = 2 \ subrayado {5} [/ matemáticas] y [matemáticas] 6 ^ 2 = 3 \ subrayado {6} [/ matemáticas]). Es por eso que todos los números automórficos terminan en 5 o 6.

Aunque 1 y 0 también se consideran números automórficos, son casos especiales y su automorfismo solo se aplica a 1 y 0 individualmente.

Un número consta de dos dígitos. La suma de los dígitos es 9. Si 63 se resta del número, sus dígitos se intercambian. ¿Cual es el número?

¿Qué es el LCM?

Hay un entero positivo aleatorio n. ¿Cuál es el número máximo de números positivos distintos que podemos tomar en un momento cuya suma es igual a n (no se considera 0)?

¿Es (A x B) intersección B x B, lo mismo que (A x B) intersección (B x B)?

¿Por qué el problema del cuerpo N es tan difícil de resolver?

¿Cómo calculamos el factorial de los números no integrales (fraccionarios)?

Esto me llevó bastantes hojas de papel llenas de [matemáticas] a [/ matemáticas], [matemáticas] b [/ matemáticas], [matemáticas] c [/ matemáticas] y [matemáticas] d [ / math], pero he llegado a la conclusión de que hay exactamente 1 solución para [math] n [/ math] que cumple con estos parámetros: [math] 9376 [/ math]. La respuesta y el camino a seguir son:

Digamos que [matemática] n [/ matemática] tiene la forma [matemática] abcd [/ matemática] y [matemática] n = 1000a + 100b + 10c + d [/ matemática] donde [matemática] a, b, c, d \ in \ mathbb {N} \ le 9 [/ math] y [math] a \ ne 0 [/ math] porque de lo contrario tendríamos un número de dígitos [math] 3 [/ math].

Estamos tratando de encontrar un número [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] n ^ 2 [/ matemática] termine en [matemática] n [/ matemática].

En este momento, tenemos las opciones [matemáticas] 9 [/ matemáticas] para [matemáticas] a [/ matemáticas] (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9) y [matemáticas] 10 [/ matemática] opciones para todos [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [/ matemática] y [matemática] d [/ matemática] (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9). Por lo tanto, tenemos [matemáticas] 9 \ veces 10 \ veces 10 \ veces 10 = 9000 [/ matemáticas] posibilidades para [matemáticas] n [/ matemáticas]. Tratemos de reducir esto.

Para comenzar, comencemos en pequeño en el lugar de las unidades con [math] d [/ math]:

Tenemos que encontrar un número [matemática] d [/ matemática] donde [matemática] d ^ 2 [/ matemática] termina en [matemática] d [/ matemática]. En otras palabras, [matemática] d ^ 2 = 10x + d [/ matemática] donde [matemática] x \ in \ mathbb {N} \ le 9 [/ matemática].

Debemos encontrar valores para [math] d [/ math] de modo que [math] x [/ math] en [math] \ dfrac {d ^ 2-d} {10} = x [/ math] sea un no negativo entero menor que [matemáticas] 9 [/ matemáticas]. Intuitivamente, existen exactamente [matemáticas] 4 [/ matemáticas] para esto: [matemáticas] d = 0,1,5, [/ matemáticas] y [matemáticas] 6 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] d \ in \ {0, 1,5,6 \} [/ math] y [math] n [/ math] termina en [math] 0 [/ math], [math] 1 [/ matemáticas], [matemáticas] 5 [/ matemáticas] o [matemáticas] 6 [/ matemáticas].

Como ahora tenemos [matemática] 4 [/ matemática] en lugar de [matemática] 10 [/ matemática] posibilidades para [matemática] d [/ matemática], ahora tenemos [matemática] 9 \ veces 10 \ veces 10 \ veces 4 = 3600 [/ matemáticas] posibilidades para [matemáticas] n [/ matemáticas] y han eliminado [matemáticas] 9000-3600 = 5400 [/ matemáticas] de ellas. ¡Sigamos!

Ahora para [matemáticas] c [/ matemáticas]:

Tenemos que encontrar un número de la forma [math] cd [/ math], que también se puede escribir como [math] 10c + d [/ math], de modo que [math] cd ^ 2 = (10c + d) ^ 2 [/ math] termina en [math] cd = 10c + d [/ math]

Por lo tanto, [math] (10c + d) ^ 2 = 100c ^ 2 + 20cd + d ^ 2 [/ math] y podemos eliminar cualquier valor que no afecte las decenas o los lugares. Entonces podemos deshacernos de [math] 100c ^ 2 [/ math] ya que [math] c [/ math] es un número entero.

Ahora, [matemáticas] 10c + d = 20cd + d ^ 2 [/ matemáticas]. Por supuesto, a medida que conectemos diferentes valores de [math] d [/ math], tendremos que ajustar esta ecuación para que solo tratemos con valores en las posiciones de decenas y unidades.

Si [matemáticas] d = 0 [/ matemáticas],

[matemáticas] 10c + 0 = 0 + 0 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas]

Si [matemáticas] d = 1 [/ matemáticas],

[matemáticas] 10c + 1 = 20c + 1 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas]

Si [matemáticas] d = 5 [/ matemáticas],

[matemáticas] 10c + 5 = 100c + 5 ^ 2 [/ matemáticas]

Podemos eliminar [matemáticas] 100c [/ matemáticas], entonces [matemáticas] 10c + 5 = 5 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] c = 2 [/ matemáticas]

Si [matemáticas] d = 6 [/ matemáticas],

[matemáticas] 10c + 6 = 120c + 6 ^ 2 [/ matemáticas]

Pero esto es [matemáticas] \ bmod {100} [/ matemáticas] así que

[matemáticas] 10c + 6 \ equiv 120c + 6 ^ 2 \ pmod {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] 10c + 6 \ equiv 20c + 36 \ pmod {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] -10c \ equiv 30 \ pmod {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] -c \ equiv 3 \ pmod {10} [/ matemáticas]

[matemáticas] c \ equiv 7 \ pmod {10} [/ matemáticas]

Así [matemáticas] c = 7 [/ matemáticas].

Ahora sabemos que cuando [matemática] d = 0 [/ matemática], [matemática] c = 0 [/ matemática] y cuando [matemática] d = 1 [/ matemática], [matemática] c = 0 [/ matemática] y cuando [matemática] d = 5 [/ matemática], [matemática] c = 2 [/ matemática] y cuando [matemática] d = 6 [/ matemática], [matemática] c = 7 [/ matemática]. Por lo tanto, [matemática] n [/ matemática] puede ser [matemática] ab00 [/ matemática], [matemática] ab01 [/ matemática], [matemática] ab25 [/ matemática] y / o [matemática] ab76 [/ matemática] .

Ahora tenemos [math] 9 \ times 10 \ times 4 = 360 [/ math] posibilidades y hemos eliminado [math] 3600 [/ math] [math] -360 = 3240 [/ math]. Nos estamos acercando!

¡Uf! Ahora para [matemáticas] b [/ matemáticas]:

Tenemos que encontrar un número de la forma [math] bcd [/ math], que también se puede escribir como [math] 100b + 10c + d [/ math], donde [math] bc [/ math] [math] d ^ 2 = (100b + 10c + d) ^ 2 [/ matemática] termina en [matemática] b [/ matemática] [matemática] cd = 100b + 10c + d [/ matemática]

Por lo tanto, después de exigir [matemáticas] (100b + 10c + d) ^ 2 [/ matemáticas] y eliminar todos los factores irrelevantes (factores que afectan el lugar de los miles o más), [matemáticas] 100b + 10c + d = 200bd + 100c ^ 2 + 20cd + d ^ 2 [/ math], pero aún es posible que necesitemos ajustar a medida que procedemos a conectar diferentes valores para [math] c [/ math] y [math] d [/ math].

Si [matemática] d = 0 [/ matemática], [matemática] c = 0 [/ matemática],

[matemáticas] 100b + 0 + 0 = 0 + 0 + 0 + 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]

Si [matemática] d = 1 [/ matemática], [matemática] c = 0 [/ matemática],

[matemáticas] 100b + 0 + 1 = 200b + 0 + 0 + 1 ^ 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas]

Si [matemática] d = 5 [/ matemática], [matemática] c = 2 [/ matemática],

[matemáticas] 100b + 20 + 5 = 1000b + 400 + 200 + 5 ^ 2 [/ matemáticas]

Podemos eliminar [matemática] 1000b [/ matemática], entonces [matemática] 100b + 20 + 5 = 400 + 200 + 5 ^ 2 [/ matemática] y [matemática] b = 6 [/ matemática]

Si [matemáticas] d = 6 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 7 [/ matemáticas],

[matemáticas] 100b + 70 + 6 = 1200b + 4900 + 840 + 6 ^ 2 [/ matemáticas]

Pero esto es [matemáticas] \ bmod {1000} [/ matemáticas] así que

[matemáticas] 100b + 76 \ equiv 1200b + 5776 \ pmod {1000} [/ matemáticas]

[matemáticas] -1100b \ equiv 5700 \ pmod {1000} [/ matemáticas]

[matemáticas] -100b \ equiv 700 \ pmod {1000} [/ matemáticas]

[matemáticas] -b \ equiv 7 \ pmod {100} [/ matemáticas]

[matemáticas] b \ equiv 3 \ pmod {10} [/ matemáticas]

Así [matemáticas] b = 3 [/ matemáticas].

Ahora sabemos que cuando [matemática] d = 0 [/ matemática], [matemática] c = 0 [/ matemática], [matemática] b = 0 [/ matemática] y cuando [matemática] d = 1 [/ matemática], [matemática] c = 0 [/ matemática], [matemática] b = 0 [/ matemática] y cuando [matemática] d = 5 [/ matemática], [matemática] c = 2 [/ matemática], [matemática] b = 6 [/ matemática] y cuando [matemática] d = 6 [/ matemática], [matemática] c = 7 [/ matemática], [matemática] b = 3 [/ matemática]. Por lo tanto, [matemática] n [/ matemática] puede ser [matemática] a000 [/ matemática], [matemática] a001 [/ matemática], [matemática] a625 [/ matemática] y / o [matemática] a376 [/ matemática] .

Solo quedan [math] 9 \ times 4 = 36 [/ math] posibilidades después de eliminar [math] 360-36 = 324 [/ math] de ellas. Estamos en la recta final!

Ahora para encontrar [matemáticas] a [/ matemáticas]:

Tenemos que encontrar un número [math] n [/ math] de la forma [math] abcd [/ math], que también se puede escribir como [math] 1000a + 100b + 10c + d [/ math], de modo que [ matemática] abcd ^ 2 = (1000a + 100b + 10c + d) ^ 2 [/ matemática] termina en [matemática] abcd = 1000a + 100b + 10c + d [/ matemática]

Por lo tanto, después de expandir [matemáticas] (1000a + 100b + 10c + d) ^ 2 [/ matemáticas] y eliminar todos los términos irrelevantes, [matemáticas] 1000a + 100b + 10c + d = 2000 (ad + bc) +100 (2bd + c ^ 2) +20 (cd) + d ^ 2 [/ math] pero aún es posible que necesitemos ajustar a medida que avanzamos conectando varios valores para [math] b [/ math], [math] c [/ math] , y [matemáticas] d [/ matemáticas].

Si [matemática] d = 0 [/ matemática], [matemática] c = 0 [/ matemática], [matemática] b = 0 [/ matemática],

[matemáticas] 0 + 0 + 0 + 0 = 1000a + 0 + 0 + 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 0 [/ matemáticas]; pero [math] a \ ne 0 [/ math], de lo contrario tendríamos un número de dígito [math] 1 [/ math]: [math] 0 [/ math]. Entonces, no hay solución para [matemáticas] n [/ matemáticas] cuando [matemáticas] d = 0 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas].

Si [matemática] d = 1 [/ matemática], [matemática] c = 0 [/ matemática], [matemática] b = 0 [/ matemática],

[matemática] 1000a + 0 + 0 + 1 = 2000a + 0 + 0 + 1 ^ 2 [/ matemática] y [matemática] a = 0 [/ matemática]; pero [math] a \ ne 0 [/ math], de lo contrario tendríamos un número de dígito [math] 1 [/ math]: [math] 1 [/ math]. Entonces, no hay solución para [matemáticas] n [/ matemáticas] cuando [matemáticas] d = 1 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 0 [/ matemáticas].

Si [matemática] d = 5 [/ matemática], [matemática] c = 2 [/ matemática], [matemática] b = 6 [/ matemática],

[matemáticas] 1000a + 600 + 20 + 5 = 2000 (5a + 12) +100 (60 + 4) +20 (10) + 5 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1000a + 625 = 10000a + 24000 + 6400 + 200 + 25 [/ matemáticas]

Y podemos eliminar [math] 10000a [/ math], entonces

[matemáticas] 1000a + 625 = 30625 [/ matemáticas] y esto es [matemáticas] \ bmod {10000} [/ matemáticas] así

[matemáticas] 1000a + 625 \ equiv 30625 \ pmod {10000} [/ matemáticas]

[matemáticas] 1000a \ equiv 0 \ pmod {10000} [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ equiv 0 \ pmod {10} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] a = 0 [/ math] pero [math] a \ in \ mathbb {Z ^ {+}} \ le 9 [/ math], por lo que esta es una solución extraña. Como no se encontraron otras soluciones, no hay solución para [matemáticas] n [/ matemáticas] cuando [matemáticas] d = 5 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = 6 [/matemáticas]. Sin embargo, [matemática] 625 ^ 2 = 390 \ subrayado {625} [/ matemática] así que está eso.

Ahora, si [matemáticas] d = 6 [/ matemáticas], [matemáticas] c = 7 [/ matemáticas], [matemáticas] b = 3 [/ matemáticas],

[matemáticas] 1000a + 300 + 70 + 6 = 2000 (6a + 21) +100 (36 + 49) +20 (42) + 6 ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 1000a + 376 = 12000a + 42000 + 8500 + 840 + 36 [/ matemáticas]

Pero esto es [matemáticas] \ bmod {10000} [/ matemáticas] así que

[matemáticas] 1000a + 376 \ equiv 12000a + 51376 \ pmod {10000} [/ matemáticas]

[matemáticas] -11000a \ equiv 51000 \ pmod {10000} [/ matemáticas]

[matemáticas] -1000a \ equiv 1000 \ pmod {10000} [/ matemáticas]

[matemáticas] -a \ equiv 1 \ pmod {10} [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ equiv 9 \ pmod {10} [/ matemáticas]

Así [matemáticas] a = 9 [/ matemáticas].

Esto significa que nuestra única solución es cuando [math] n = 9376 [/ math].

Casi puedes saborear la victoria cuando cuando encontramos que [matemáticas] 9376 ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] 8790 \ subrayado {9376} [/ matemáticas]

Krzysztof Putyra

Me gustaría agregar algunas palabras a la excelente respuesta de Sagar Gupta.

No es tan difícil resolver el problema usando módulos aritméticos. La pregunta pide un número natural [matemática] n [/ matemática] tal que [matemática] n ^ 2 – n [/ matemática] es divisible por [matemática] 10000 [/ matemática], lo que significa que

[matemáticas] n (n-1) = 2 ^ 4 * 5 ^ 4 * k = 16 * 625 * k [/ matemáticas]

para algún número [matemáticas] k [/ matemáticas]. Hay dos soluciones obvias, que Sagar ha mencionado: [matemáticas] n = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = 1 [/ matemáticas], que son el caso cuando [matemáticas] k = 0 [/ matemáticas]. Sin embargo, estos no son números de 4 dígitos.

Luego, uno debe observar que ni [math] n [/ math] ni [math] n-1 [/ math] pueden ser divisibles por [math] 10 [/ math]. De hecho, si [matemática] n [/ matemática] terminara con [matemática] 0 [/ matemática] s, [matemática] n ^ 2 [/ matemática] terminaría con el doble de [matemática] 0 [/ matemática] s. Por otro lado, si [matemática] n-1 [/ matemática] termina con [matemática] 0 [/ matemática], entonces [matemática] n [/ matemática] y [matemática] n ^ 2 [/ matemática] finaliza con [matemáticas] 1 [/ matemáticas]. Aquí hay que mirar los siguientes dígitos:

si [matemática] n [/ matemática] termina con [matemática] 01 [/ matemática], entonces [matemática] n ^ 2 [/ matemática] finaliza con [matemática] 001 [/ matemática] (y del mismo modo con más ceros)
de lo contrario, diga [matemática] n = 10x + 1 [/ matemática] donde [matemática] x [/ matemática] no es divisible por [matemática] 10 [/ matemática]; entonces [math] n ^ 2 = 100x ^ 2 + 20x + 1 [/ math] difiere de [math] n [/ math] en su segundo dígito a la derecha.

Por lo tanto, las únicas soluciones posibles son de la forma

[matemática] n = 16a [/ matemática] y [matemática] n-1 = 625b [/ matemática], de modo que [matemática] 625b = 16a – 1 [/ matemática]
[matemática] n-1 [/ matemática] = [matemática] 16a [/ matemática] y [matemática] n = 625b [/ matemática], de modo que [matemática] 625b = 16a + 1 [/ matemática]

Por lo tanto, para encontrar [matemáticas] n [/ matemáticas], necesitamos encontrar [matemáticas] b [/ matemáticas] de modo que la división de [matemáticas] 625b [/ matemáticas] por [matemáticas] 16 [/ matemáticas] tenga resto [ matemáticas] 1 [/ matemáticas] o [matemáticas] -1 [/ matemáticas].

El siguiente paso es darse cuenta de que

[matemáticas] 625 = 640 – 15 = 16 * 40 – 15 = 16 * 39 + 1 [/ matemáticas]

y estamos en el segundo caso con [matemáticas] b = 1 [/ matemáticas] y [matemáticas] a = 39 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] n = 625 [/ math] es una solución, pero, nuevamente, con menos de 4 dígitos.

Ahora, como [matemática] 625 [/ matemática] da el resto [matemática] 1 [/ matemática] cuando se divide entre [matemática] 16 [/ matemática], el resto de [matemática] 625b [/ matemática] es [matemática] b [ /matemáticas]. Por lo tanto, la siguiente solución existe cuando [math] b = 15 [/ math], y es del primer caso:

[matemáticas] 625 * 15 = 9375 = 16 * 586 – 1 [/ matemáticas]

de modo que [matemáticas] n = 9376 [/ matemáticas], esta vez con 4 dígitos. Esta es la única solución, ya que cualquier valor mayor de [matemática] b [/ matemática] produce [matemática] n [/ matemática] con 5 dígitos o más.

Se puede usar un argumento similar para cualquier número de dígitos, lo que demuestra lo que Sagan mencionó: hay como máximo dos números automórficos con un número dado de dígitos mayor que 1.

La respuesta se ha modificado ligeramente después de que Rish Lyfe señaló un error: ¡gracias!

Cooper Stevens

No hay una respuesta válida a esta pregunta; ninguno de los cuadrados de enteros enteros de (1000..9999) tiene un conjunto único de los últimos cuatro dígitos del cuadrado.

Para el conjunto de cuadrados de todos los valores de n desde 1000 hasta 9999 inclusive, la distribución de los últimos cuatro dígitos compartidos del cuadrado es: