¿Cómo calculamos el factorial de los números no integrales (fraccionarios)?

Answer 1

La función gamma. Se define para reales positivos (y más generalmente, números complejos con una parte real positiva), como [math] \ Gamma (x) = \ int_0 ^ {\ infty} x ^ {n-1} e ^ {- x} dx . [/ math] Para enteros positivos, esto se reduce a la función factorial desplazada hacia abajo en uno: [math] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ math]

Mientras estamos en ese tema, demostremos ese último reclamo y asegurémonos de que realmente funcione como se espera para los enteros. Para simplificar un poco la notación, usaré [matemática] n [/ matemática] en lugar de [matemática] n-1 [/ matemática], y para todos los enteros no negativos [matemática] n [/ matemática] defina el funciones [matemáticas] f_n (x) = x ^ ne ^ {- x} [/ matemáticas]. Si todo va bien, [matemática] \ Gamma (n + 1) [/ matemática] debería ser igual a [matemática] \ int_0 ^ {\ infty} f_n (x) dx [/ matemática], que a su vez debería ser igual a [matemática] n ![/matemáticas].

Comenzaremos calculando la antiderivada por partes: esto simplemente significa aplicar la regla del producto a la inversa para obtener [math] \ int u v ‘= uv – \ int u’ v [/ math].

Deje [math] u [/ math] [math] (x) = x ^ n [/ math] y [math] v [/ math] [math] ‘(x) = e ^ {- x} [/ math] , que da [matemáticas] u [/ matemáticas] [matemáticas] ‘(x) = nx ^ {n-1} [/ matemáticas] y [matemáticas] v [/ matemáticas] [matemáticas] (x) = – e ^ { -x}. [/ matemáticas]

Al conectar esto tenemos [math] -x ^ ne ^ {- x} – n \ int x ^ {n-1} [/ math] [math] e ^ {- x} dx [/ math] … y, oye . La integral se parece mucho a lo que comenzamos, pero hemos logrado reducir el poder de [math] x [/ math] en uno. Podemos seguir haciendo eso hasta que la potencia llegue a 0, momento en el cual la antiderivada es solo [matemática] e ^ {- x} + C [/ matemática].

Entonces, en general, la antiderivada [matemática] F_n [/ matemática] de [matemática] f_n [/ matemática] irá al telescopio de la siguiente manera (ignorando las constantes de integración, ya que se cancelarán más adelante)

[matemáticas] F_n (x) = -x ^ ne ^ {- x} – n F_ {n-1} (x) [/ matemáticas]

[matemáticas] = -e ^ {- x} (x ^ n + n (x ^ {n-1} + F_ {n-2} (x))) [/ matemáticas]

[matemáticas] = -e ^ {- x} (x ^ n + n (x ^ {n-1} + (n-1) (x ^ {n-2} + F_ {n-3} (x)) ))[/matemáticas]

[matemáticas] \ cdots [/ matemáticas]

[matemáticas] = -e ^ {- x} (x ^ n + nx ^ {n-1} + n (n-1) x ^ {n-2} + n (n-1) (n-2) x ^ {n-3} + \ cdots + n!) [/ ​​math]

Como puede ver, el factorial de [matemáticas] n [/ matemáticas] cayó como el único término que no se multiplica por [matemáticas] x [/ matemáticas]. Ya casi!

Si tuviéramos una integral definida, estaríamos calculando [math] \ int_0 ^ y f_n (x) dx = F_n (y) – F_n (0) [/ math]. No lo hacemos, así que calculamos el límite inferior constante [matemática] F_n (0) [/ matemática], tomamos el límite del límite superior [matemática] F_n (y) [/ matemática], y restamos el primero del último , suponiendo que el límite existe.

Para ese fin, al conectar [math] 0 [/ math] en [math] F_n (0) [/ math] se obtiene

[matemáticas] F_n (0) = -e ^ {0} (0 ^ n + n 0 ^ {n-1} + n (n-1) 0 ^ {n-2} + n (n-1) (n -2) 0 ^ {n-3} + \ cdots + n!) [/ ​​Math]

[matemáticas] = -n! [/ matemáticas]

En cuanto al límite de [matemáticas] F_n (y) [/ matemáticas]: esto claramente va a cero, ya que el factor [matemáticas] e ^ {- y} [/ matemáticas] domina el polinomio dentro de los corchetes.

Así que nos queda simplemente [matemáticas] F_n (y) – F_n (0) = 0 – (- n!) = N! [/ Matemáticas], y juntando todo tenemos

[matemáticas] \ Gamma (n) = \ lim_ {x \ to \ infty} F_ {n-1} (y) – F_ {n-1} (0) = (n-1)! [/ matemáticas]

para enteros positivos [matemática] n [/ matemática].

Me doy cuenta de que salí por una tangente muy empinada aquí, pero creo que es realmente bonito cómo los exponenciales y los polinomios terminan trabajando juntos para filtrar el resultado deseado, y toda la integración en cascada por partes es bastante clara, también.

Answer 2

De wiki:
Además de los enteros no negativos, la función factorial también se puede definir para valores no enteros. Una función que “completa” los valores del factorial (pero con un desplazamiento de 1 en el argumento) se llama función Gamma, denotada Γ ( z ), definida para todos los números complejos z excepto los enteros no positivos, y dada cuando la parte real de z es positiva por
Su relación con los factoriales es que para cualquier número natural n

Este enlace explica en detalle: Factorial

Answer 3

Comenzamos con la definición bastante extraña de una función integral:

Lo primero que descubrimos, después de integrar por partes, es que satisface una relación de recursión interesante:

Esta relación es justo lo que queremos. Si n es un entero, encontramos que I se reduce al factorial estándar. De hecho, una vez que se conoce la función para todos los valores entre 0 y 1, se pueden determinar todos los demás valores positivos de la función. Además, la relación de recursión puede invertirse para extender la definición a valores negativos del argumento también:

[Es I (n) / n]

Entonces, finalmente, la función gamma se define por la siguiente integral

Ahora, en cuanto a su pensamiento sobre por qué dicha propiedad de la función gamma solamente:

Esta función es como el factorial en cuando cuando n es un entero positivo, satisface Γ (n) = (n − 1) !. Generaliza el factorial en el sentido de que es el factorial para argumentos enteros positivos, y también está bien definido para números positivos racionales (e incluso reales). Esto es lo que significa tomar un “factorial racional”, pero dudaría en llamarlo así. Muchas funciones tienen esas dos propiedades, y Γ se elige de todas ellas porque es la más útil en otras aplicaciones. Gamma no es una función que intente generalizar factoriales; más bien, los factoriales generalizadores aparecieron como un accidente siguiendo la definición. Su verdadero propósito es más profundo.

(Texto citado tomado de la respuesta de ‘kigen’ en ¿Cómo encontrar el factorial de una fracción?)

Answer 4

La función factorial no está realmente definida para fracciones. Pero, ¿qué tal si encontramos una función que tenga propiedades similares a [math] n! [/ Math], tenga los mismos valores para los números naturales pero también esté definida para fracciones.

Entonces

[matemáticas] n! = n (n-1) (n-2)… (1) [/ matemáticas]

bien ahora deberíamos mirar la función gamma

[matemáticas] \ Gamma (z) = \ int ^ \ infty_0 t ^ {z-1} e ^ {- t} dt [/ matemáticas]

Bien, ahora podemos intentar resolverlo

[matemáticas] u = t ^ {z-1} \ hspace {4 mm} v = -e ^ {- t} [/ matemáticas]

[matemáticas] du = t ^ {z-2} \ hspace {4 mm} dv = e ^ {- t} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Gamma (z) = – t ^ {z-1} e ^ {- t} | ^ {\ infty} _0 + (z-1) \ int ^ \ infty_0 t ^ {z-2} e ^ { -t} dt [/ matemáticas]

Ahora evaluando [math] -t ^ {z-1} e ^ {- t} [/ math] en [math] t = \ infty [/ math] da [math] 0 [/ math] y evaluando en [math] t = 0 [/ math] también da [math] 0. [/ math] No probaré esto ahora pero puedes verificarlo si quieres, es bastante intuitivo. Entonces ahora se simplifica a

[matemáticas] \ Gamma (z) = (z-1) \ int ^ \ infty_0 t ^ {z-2} e ^ {- t} dt [/ matemáticas]

Ahora observe que [math] \ int ^ \ infty_0 t ^ {z-2} e ^ {- t} dt = \ Gamma (z-1) [/ math]

Entonces ahora tenemos

[matemáticas] \ Gamma (z) = (z-1) \ Gamma (z-1) [/ matemáticas]

Ahora podemos repetir el mismo proceso que acabamos de hacer en [math] \ Gamma (z-1) [/ math] Así que ahora tenemos.

[matemáticas] \ Gamma (z) = (z-1) (z-2) \ Gamma (z-2) [/ matemáticas]

Y otra vez

[matemáticas] \ Gamma (z) = (z-1) (z-2) (z-3) \ Gamma (z-3) [/ matemáticas]

Y así

[matemáticas] \ Gamma (z) = (z-1) (z-2) (z-3) (z-4)… [/ matemáticas] Todo el camino hasta [matemáticas] \ Gamma (1) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Gamma (1) = \ int ^ \ infty_0 t ^ {1-1} e ^ {- t} dt = -e ^ {- t} | ^ {\ infty} _0 = 1 [/ matemáticas]

Así que ahora terminamos con

[matemáticas] \ Gamma (z) = (z-1) (z-2) (z-3) (z-4)… (1) [/ matemáticas]

Wow, qué coincidencia mira esto

[matemáticas] n! = n (n-1) (n-2) (n-3) (n-4)… (1) [/ matemáticas]

Entonces, ¿qué tal si definimos nuestra nueva función factorial como [math] \ Gamma (z + 1) [/ math]

Ahora deberíamos probar algunos valores

[matemáticas] \ Gamma (\ frac {1} {2} +1) = \ int ^ \ infty_0 t ^ {\ frac {1} {2}} e ^ {- t} dt [/ math]

Ahora esto no se puede hacer con funciones elementales como muchos de los valores fraccionales. Así que ponerlo en Mathica da

[matemáticas] \ Gamma (z) = \ int ^ \ infty_0 t ^ {\ frac {3} {2} -1} e ^ {- t} dt = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [ /matemáticas]

Entonces, utilizando nuestra nueva definición extendida de la función factorial. Nota: No creo que esta sea la notación correcta, pero lo haré de todos modos.

[matemáticas] \ frac {1} {2}! = \ frac {\ sqrt {\ pi}} {2} [/ matemáticas]

¿No es asombroso? Aquí hay un gráfico de nuestra nueva función.

Para una mejor y más rigurosa discusión de este tema consulte

Factorial – Wikipedia

Función gamma – Wikipedia

Answer 5

¿Cómo se encuentra el factorial decimal?

Suponiendo que por ‘factorial decimal’ quisieras decir ‘factorial de un número decimal’, voy a tener que decir, no , no es posible.

¿Por qué? Debido a que la operación factorial, en su forma más básica, se define sobre [math] \ mathbb {W} [/ math], el conjunto de números enteros (enteros positivos que comienzan desde [math] 1 [/ math], incluido [math] 0 [/ matemáticas]).

Aunque es bastante fascinante notar que un primo cercano de la operación factorial, llamado factorial doble, también se define [math] \ forall x \ in \ mathbb {Z ^ -} [/ math], [math] | x | \% 2 \ neq 0 [/ math], junto con el conjunto habitual [math] \ mathbb {Z ^ +} \ wedge \ {0 \} [/ math], donde [math] \% [/ math] es el operador de módulo y [math] | \ alpha | [/ math] denota el valor absoluto de [math] \ alpha [/ math].

Espero que haya ayudado.

Answer 6

Estrictamente hablando, los factoriales solo se definen para enteros no negativos.

Cuando las personas quieren un concepto como el factorial de un número no integral, buscan extensiones de la función factorial, es decir, una función cuyo dominio es un superconjunto de los enteros no negativos, de modo que f (n) = n! para todos los enteros no negativos n.

Un ejemplo de una extensión “incorrecta” sería f (x) = x! si x es un número entero no negativo y 7 de lo contrario.

La función gamma ya mencionada es una extensión del factorial que, en cierto sentido, es la “mejor” extensión posible de la función factorial. Para obtener más información, consulte esta pregunta que hice hace ~ 2 años y este hilo en stackexchange.

Answer 7

Los números decimales positivos tienen factoriales porque es posible extender la función factorial para que se defina para valores no enteros. La más común y natural de tales extensiones es la función gamma. Para más detalles, vea Extensiones de valores factoriales a no enteros

Answer 8

El factorial que conocemos es una función recursiva, es decir, f (x) = xf (x-1). Pero en realidad es el resultado de la función gamma. Entonces, si estamos usando esta integral, se puede calcular el factorial de los valores fraccionarios.

Para más información, pruebe estos enlaces.
Función Gamma – de Wolfram MathWorld
Factoriales de valores no integrales

Answer 9

Función gamma.

Específicamente [matemáticas] \ Gamma (x + 1) = x! [/ Matemáticas]

Básicamente, graficamos la gráfica de los factoriales y los unimos con una curva suave. Según la definición de factorial, esta función debe satisfacer

[matemáticas] \ Gamma (x + 1) = x \ Gamma (x) [/ matemáticas]

Y todos los números naturales con sus factoriales.

Dicha función existe y hay una:

[matemáticas] \ displaystyle \ Gamma (x) = \ int t ^ {x-1} e ^ {- t} dt [/ math]

¡Entonces puedes calcular 0.5! y así. (Por cierto, se sabe que este valor es [math] \ dfrac {\ sqrt \ pi} 2 [/ math]) Es bueno saber que Gamma de enteros negativos no tiene convergencia para la integral impropia, y por lo tanto no está definido . Solo podemos tener la función Gamma para números negativos, excepto los enteros negativos.

A través de la continuación analítica, también podemos definir la función Gamma en números complejos.

Answer 10

La propiedad natural del factorial es que [math] (n + 1)! = (N + 1) \ cdot n! [/ Math]. Por lo tanto, una forma natural de extender factorial sería una solución a la ecuación funcional [matemáticas] f (x + 1) = (x + 1) \ cdot f (x) [/ matemáticas]. Se demostró que es mejor considerar la ecuación [matemáticas] f (x + 1) = x \ cdot f (x) [/ matemáticas], cuya solución da un factorial traducido, es decir, una función que satisface [matemáticas] f ( x) = (n-1)! [/ matemáticas]. La solución a esto es la función Gamma: Wikipedia se define como una integral definida, por lo que es fácil demostrar que satisface la ecuación funcional mencionada anteriormente por inducción e integración per partes.

Por lo tanto, [math] 2.5! = \ Gamma (3.5) [/ math] que se trata de [math] 3.32335 [/ math] (calculado por Computational Knowledge Engine).

Answer 11

De hecho, puede extenderse a [math] x \ in [/ math] [math] \ mathbb {R} [/ math]

Es por esto que puede evaluar [matemáticas] 1.5! [/ Matemáticas] y [matemáticas] -7! [/ Matemáticas] y, más notablemente, [matemáticas] 0! [/ Matemáticas]

Además, [math] y = [/ math] [math] x! [/ Math] por sí mismo no es diferenciable, pero la función Gamma, que es diferenciable, puede ayudar con eso como [math] \ Gamma (n + 1) = n! [/ matemáticas]

No voy a mostrarle todos los pasos para hacerlo, pero si logra tomar la derivada, sepa que

[matemáticas] \ displaystyle {\ Gamma ^ \ prime (n + 1) = n! \ left (- \ gamma + \ sum_ {k = 1} ^ n \ frac {1} {k} \ right)} [/ math]

Aquí hay un gráfico de [math] y = x! [/ Math] en parte de su dominio extendido: [1]

Notas al pie

[1] Imagen en wikimedia.org

Answer 12

La función gamma [math] \ Gamma (z) = \ int _0 ^ {\ infty} t ^ {z-1} e ^ {- t} dt [/ math] es una generalización de factorial a no enteros ([math] \ Gamma (n) = (n-1)! [/ Math]). Además de los enteros, la función gamma evaluada en [math] n + 1/2 [/ math] (n es un entero) también tiene una expresión simple. Sin embargo, su valor evaluado en otros números racionales generalmente no es algo que podamos escribir explícitamente. Ver la función Gamma.

Answer 13

W son los números enteros.

Sí, la función gamma es una extensión de la función factorial:

https://en.m.wikipedia.org/wiki/ …

Answer 14

Otros ya han respondido, pero sí, la función Gamma generaliza el concepto de factorial a números no integrales.