¿Por qué es un número triangular la suma de los primeros n números naturales?

Answer 1

Por definición, un número triangular es la suma de los primeros n números naturales. Entonces, 3 es un número triangular porque 3 = 1 + 2, y de manera similar, 28 es un número triangular porque 28 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7. Llamamos a 3 el segundo número triangular (o T_2) , porque la suma finaliza en 2, mientras que 28 es el séptimo número triangular (T_7), porque la suma finaliza en 7. La razón del nombre Número triangular debe ser evidente en la imagen a continuación (útil prestado del número triangular – Wikipedia).

En cuanto a su pregunta / comentario (” Mi libro me dice que la respuesta es un cuadrado perfecto “), lo que su libro debería decirle es que la suma de dos números triangulares consecutivos es un cuadrado perfecto (un número formado multiplicando un número natural por sí mismo). Por ejemplo, T_3 + T_4 = 6 + 10 = 16, y 16 es un cuadrado perfecto (4 x 4). Para otro ejemplo, T_6 + T_7 = 21 + 28 = 49 (y 49 = 7 x 7).

Answer 2

La secuencia de números triangulares está formada por un patrón de puntos que forman un triángulo, por ejemplo, 1,3,6,10,15,21,28 …

El primer triángulo tiene solo 1 punto.

El segundo triángulo agrega una segunda fila de 2 puntos. Entonces este triángulo tiene un total de 1 más 2, es decir, 3 puntos.

El tercer triángulo agrega una tercera fila de 3 puntos. Entonces este triángulo tiene un total de 1 más 2 más 3, es decir, 6 puntos.

Esta es la misma regla que sumar números naturales consecutivos, porque el triángulo está formado por filas de números consecutivos.

Por lo tanto, el sexto número triangular, por ejemplo, será la suma de 1,2,3,4,5 y 6. (2

La noción de cuadrado perfecto entra en juego de la siguiente manera: agregue un número triangular al siguiente y la suma hace un cuadrado perfecto, por ejemplo, 1 más 3 es igual a 4, un número perfecto; 3 más 6 es igual a 9, otro cuadrado perfecto y así sucesivamente.

Answer 3

Esa es la definición de números triangulares: cada uno es una suma acumulativa de los números anteriores. Si agrega dos números triangulares consecutivos, la suma es un cuadrado perfecto. Puedes ver todo si escribes los números de esta manera.

1 = 1 ————— 1
1 + 2 = 3 ————— 1 + 3 = 4
1 + 2 + 3 = 6 ————- 3 + 6 = 9
1 + 2 + 3 + 4 = 10 ——— 6 + 10 = 16
1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 ———— 10 + 15 = 25

Puedes visualizar dos triángulos haciendo cada cuadrado.

Aquí hay una buena explicación: números triangulares

Answer 4

La suma de los números naturales impares de [matemática] 1 [/ matemática] a [matemática] 2r + 1 [/ matemática] es [matemática] (r + 1) ^ 2 [/ matemática], lo que puede ser confuso. Esto es, por supuesto, equivalente al resultado de la “suma de números triangulares consecutivos” mencionado en las otras respuestas.