¡Finalmente! ¡La respuesta es [matemáticas] 5 \ sqrt 3 [/ matemáticas] !
Este es un enfoque geométrico puro, pero aún requiere una mentalidad clara y conocimiento de bastantes teoremas importantes.
Denominemos [matemática] P [/ matemática] como la intersección de [matemática] AM [/ matemática] y [matemática] DN [/ matemática], y [matemática] Q [/ matemática] como la intersección de [matemática] AN [/ math] y [math] E [/ math] [math] M [/ math]. [matemáticas] X [/ matemáticas] será la intersección de las tres líneas. [math] S [/ math] será la intersección de la altitud y [math] MN [/ math].
Una dimensión importante que debe tener en cuenta es que BC se divide por la altitud en longitud de 1 y 4 respectivamente. Esto puede ser probado por la ley del coseno o simplemente por el teorema de Pitágoras.
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Paso 1 Identifica que los dos triángulos en ángulo recto son similares
Esto debería ser fácil porque los dos ángulos (ángulo recto) y otro ángulo ([matemáticas] \ ángulo ADM [/ matemáticas] y [matemáticas] \ ángulo ANE [/ matemáticas]) son iguales. Entonces tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ triangle ADM \ sim \ triangle ANE \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ frac {AD} {AN} = \ frac {AM} {AE}} \ tag * {} [/ math]
* Paso 2 Identifica otro par de triángulos similares
Este es un paso difícil. Como hemos establecido las relaciones en el Paso 1, podemos concluir otro par de triángulos similares basados en una información adicional:
[matemáticas] \ angle DAN = \ angle CAB + 90 ^ \ circ = \ angle EAM \ tag * {} [/ math]
Entonces también tenemos
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {\ triangle DAN \ sim \ triangle MAE} \ tag * {} [/ math]
** Paso 3 Reconoce los dos círculos ocultos
Este paso es extremadamente difícil. Pero por la similitud, tenemos
[matemática] \ angle ADN = \ angle AME \ text {y} \ angle AEM = \ angle AND \ tag * {} [/ math]
Debido a la inversa del ángulo en el mismo segmento, tenemos que ADMX y AXNE son cuadriláteros cíclicos.
* Paso 4 Reconoce los ángulos rectos
Este paso se deriva de la conclusión cuadrilátera cíclica. Como tenemos un ángulo en el mismo segmento , también tenemos
[matemática] \ en caja {\ angle DXM = \ angle EXN = 90 ^ \ circ} \ tag * {} [/ math]
Paso 5 Mira que tenemos otro par de triángulos similares
O, alternativamente, si ya sabe cómo construir la media geométrica de dos números usando el borde recto y la brújula, debe saber que [matemática] SX ^ 2 = MS \ veces SN [/ matemática], pero puede reconocer el par de similares triángulos de
[matemáticas] \ triangle XMS \ sim \ triangle NXS \ sim \ triangle NMX \ tag * {} [/ math]
para obtener eso. Como sabemos que [matemática] BS = 0.5 [/ matemática] y [matemática] SC = 2 [/ matemática], tenemos [matemática] SX = \ sqrt {0.5 \ veces 2} = 1 [/ matemática]
Por lo tanto,
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {XN = \ sqrt 5} \ tag * {} [/ math]
[matemáticas] \ displaystyle \ boxed {XM = \ frac {\ sqrt 5} 2} \ tag * {} [/ math]
** Paso 6 Los pares finales de triángulos similares
Como hemos probado el cuadrilátero cíclico, también tenemos [matemática] \ angle XAN = \ angle XEN [/ math] y [math] \ angle XDM = \ angle XAM [/ math]. Junto con el ángulo recto que hemos descubierto anteriormente, hemos encontrado los pares finales de triángulos similares:
[matemática] \ begin {align} \ triangle DXM & \ sim \ triangle ASM \\ \ triangle EXN & \ sim \ triangle ASN \ end {align} [/ math]
Con los valores que hemos encontrado para [matemática] XM [/ matemática] y [matemática] XN [/ matemática], podemos encontrar [matemática] XD [/ matemática] y [matemática] XE [/ matemática] usando las proporciones.
[matemáticas] XD = 2 \ sqrt {15} \ text {y} XE = \ sqrt {15} [/ matemáticas]
[matemáticas] DE = \ sqrt {5} \ sqrt {15} = \ boxed {5 \ sqrt 3} [/ math]
Escribir es un poco de trabajo …
[matemáticas] \ enorme \ ddot \ sonrisa \ etiqueta * {} [/ matemáticas]