¿Por qué la construcción teórica de N tiene la función sucesora definida como s (n) = {n} U n y no solo {n}?

Answer 1

La construcción de von Neumann [matemática] S (n) = n \ cup \ {n \} [/ matemática] generaliza como es para todos los ordinales.

[matemáticas] S (\ kappa) = \ kappa \ cup \ {\ kappa \} [/ matemáticas].

Entonces, al igual que [math] 5 = \ {0,1,2,3,4 \} [/ math], tienes [math] \ omega = \ {0,1,2,3, \ ldots \} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ omega + 1 = \ {0,1,2,3, \ ldots, \ omega \} [/ matemáticas]. Cada elemento de [math] n [/ math] es un subconjunto de [math] n [/ math]. La comparación de números u ordinales es lo mismo que la relación de subconjunto. Simple, limpio, consistente y elegante.

La definición alternativa, [matemáticas] S (n) = \ {n \} [/ matemáticas], no se generaliza en absoluto. Puede escribir [matemáticas] 5 = \ {4 \} [/ matemáticas], o en otras palabras [matemáticas] 5 = \ {\ {\ {\ {\ {\ {\} \} \} \} \} \ } [/ math], pero entonces, ¿cómo definirías el número ordinal de todos los números naturales? ¿Y el siguiente? Hubiera sido terriblemente incómodo usar una definición para números naturales y luego una construcción completamente diferente para [math] \ omega [/ math] y más allá.

La construcción de von Neumann crea los números naturales y los ordinales transfinitos como conjuntos hereditarios bien ordenados. Es limpio y conveniente, y todos hoy en día sienten que esta es la definición obvia y natural. Puede que no te parezca así si no hubieras visto ordinales transfinitos, pero lo es. Mucho más.

Answer 2

Creo que todo fue cuestión de tecnicismos como los mencionados en otras respuestas. La teoría de conjuntos elementales hace uso común del “cierre transitivo” de un conjunto, el conjunto mínimo que contiene el conjunto dado y contiene todos los miembros de sus miembros. Según su definición, el cierre transitivo de 3 es {{}, {{}}, {{{}}}}. Según la definición más habitual, 3 ya está cerrado transitivamente.

La definición de la propiedad de tener n elementos significa en cualquier caso que existe una correspondencia uno a uno del conjunto con el cierre transitivo de n. Definir m

En la jerarquía acumulativa, los ordinales se pueden definir como conjuntos cerrados transitivamente que están ordenados por la relación de pertenencia.

Algunas personas han tomado los números naturales como “elementos ur”, no conjuntos, y esto nuevamente es solo diferente en detalles técnicos.

Answer 3

Hay varias construcciones teóricas de conjunto de [math] \ mathbb {N} [/ math], y esa es solo una de ellas, específicamente la propuesta por Von Neumann. Tiene la ventaja de que el conjunto que representa [math] n [/ math] tiene exactamente [math] n [/ math] elementos, y tiene [math] n \ leq m \ iff n \ subseteq m [/ math].

Zermelo, por otro lado, propuso la forma alternativa que está sugiriendo.

Ninguno de los dos está equivocado; solo tienen diferentes propiedades útiles.