[matemáticas] \ textbf {A} = \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 3 \\ 2 y 4 y 2 \\ 2 y 2 y 4 \ end {bmatrix} [/ math]
Tenemos que expresar [math] ~ \ textbf {A} = \ textbf {L} \ textbf {U} [/ math]
donde [math] ~ \ textbf {L} ~ [/ math] es la matriz triangular inferior y [math] ~ \ textbf {U} ~ [/ math] es la matriz triangular superior. El siguiente método que aprendí se ilustra aquí.
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 3 \\ 2 y 4 y 2 \\ 2 y 2 y 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} \ star & 0 y 0 \\ \ star & \ star & 0 \\ \ star & \ star & \ star \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} \ star & \ star & \ star \\ 0 & \ star & \ star \\ 0 & 0 & \ star \ end {bmatrix} [/ math]
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Ahora solo tenemos que llenar el [math] ~ \ star ~ [/ math].
¿Cómo obtendrás directamente una matriz triangular superior?
Obviamente, al reducir las filas posteriores con múltiplos de la primera fila. Esto significa que para [math] ~ \ textbf {U} ~ [/ math], la primera fila es igual a la primera fila de [math] ~ \ textbf {A} ~ [/ math]. De manera similar, para la matriz triangular inferior [math] ~ \ textbf {L} ~ [/ math], la primera columna es igual a la primera columna de [math] ~ \ textbf {A} ~ [/ math]. Obtenemos,
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 3 \\ 2 y 4 y 2 \\ 2 y 2 y 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 2 & \ star & 0 \\ 2 & \ star & \ star \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & \ star & \ star \\ 0 & 0 & \ star \ end {bmatrix} [/ math ]
Elija [math] ~ \ textbf {U} ~ [/ math] para tener las entradas diagonales como [math] ~ 1 ~ [/ math] (Puede elegir [math] ~ \ textbf {L} ~ [/ math] para tener las entradas diagonales como [math] ~ 1 ~ [/ math] también).
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 3 \\ 2 y 4 y 2 \\ 2 y 2 y 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 2 & \ star & 0 \\ 2 & \ star & \ star \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & \ star \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix} [/ math]
Ahora las otras entradas (‘[math] ~ \ star ~ [/ math]’) se pueden llenar columna por columna por simple multiplicación. p.ej
Denotando la entrada individual de [math] ~ \ textbf {A} [/ math], [math] ~ \ textbf {L} ~ [/ math] y [math] ~ \ textbf {U} ~ [/ math] como [math ] a_ {i, j}, ~ l_ {i, j} ~ [/ math] y [math] ~ u_ {i, j} ~ [/ math] respectivamente.
Entonces,
[matemáticas] a_ {2,2} = l_ {2,1} u_ {1,2} + l_ {2,2} u_ {2,2} + l_ {2,3} u_ {3,2} [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica 4 = (2) (1) + l_ {2,2} (1) + (0) (0) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ implica l_ {2,2} = 2 [/ matemáticas]
De esta manera, puede calcular el resto de las entradas para obtener,
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 3 \\ 2 y 4 y 2 \\ 2 y 2 y 4 \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} 1 y 0 y 0 \\ 2 y 2 y 0 \\ 2 y 0 y -2 \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 y 1 y 3 \\ 0 y 1 y -2 \\ 0 y 0 y 1 \ end {bmatrix} [/ math]
Por lo tanto, [math] ~ \ textbf {L} = \ begin {bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 2 & 0 \\ 2 & 0 & -2 \ end {bmatrix} ~ [/ math] y [math ] ~ \ textbf {U} = \ begin {bmatrix} 1 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -2 \\ 0 & 0 & 1 \ end {bmatrix}. [/ math]