Creo que te estás refiriendo a la regla de Cramer y la reducción a la forma escalonada de la fila.
La regla de Cramer es una fórmula explícita para la solución de un sistema con tantas ecuaciones como incógnitas. Es computacionalmente ineficiente y numéricamente inestable incluso para sistemas 2 × 2.
La reducción a la forma escalonada de filas es la eliminación gaussiana, que es un método general para resolver sistemas de ecuaciones que tiene muchas formas diferentes de implementación y puede ser numéricamente estable y no depende del número de filas o columnas.
Este algoritmo es eliminación gaussiana – Wikipedia
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Incluso si no se hace numéricamente, la simple diferencia es que la ley de cramers solo funciona cuando el sistema solo tiene una solución única. Está expresando sus términos de determinantes de la matriz de coeficiente cuadrado y las matrices obtenidas de ella.
Ahora que lo pienso, es probable que haya una manera de implementar esto con la descomposición QR.