¿Qué es el valor propio?

Answer 1

Un vector Eigen es un vector cuya dirección permanece sin cambios cuando se le aplica una transformación lineal.

Considere la siguiente imagen en la que se muestran tres vectores. El cuadrado verde solo se dibuja para ilustrar la transformación lineal que se aplica a cada uno de estos tres vectores.

Los vectores propios (rojo) no cambian de dirección cuando se les aplica una transformación lineal (por ejemplo, escala). Otros vectores (amarillo) sí.

La transformación en este caso es una escala simple con factor 2 en la dirección horizontal y factor 0.5 en la dirección vertical, de modo que la matriz de transformación A se define como:

Un vector v = (x, y) se escala aplicando esta transformación como

La figura anterior muestra que la dirección de algunos vectores (que se muestra en rojo) no se ve afectada por esta transformación lineal. Estos vectores se denominan vectores propios de la transformación, y definen de forma única la matriz cuadrada A. Esta relación determinista única es exactamente la razón por la que esos vectores se denominan “vectores propios” (Eigen significa “específico” en alemán).

En general, el vector propio v de una matriz A es el vector para el cual se cumple lo siguiente:

donde λ es un valor escalar llamado ‘ valor propio ‘. Esto significa que la transformación lineal A en el vector v está completamente definida por λ

Podemos reescribir la ecuación

donde I es la matriz de identidad de las mismas dimensiones que A

Sin embargo, suponiendo que v no es el vector nulo, ecuación; solo se puede definir si

no es invertible Si una matriz cuadrada no es invertible, eso significa que su Determinante debe ser igual a cero. Por lo tanto, para encontrar los vectores propios de A, simplemente tenemos que resolver la siguiente ecuación:

Para más consulta:

Valores propios y vectores propios – Wikipedia

Eigenvalue – de Wolfram MathWorld

Valores propios y vectores propios

Valores propios y vectores propios: una introducción

¿Cuál es la importancia de los valores propios / vectores propios?

http://math.mit.edu/~gs/linearal…

Answer 2

Cuando tienes una función lineal que toma un vector y devuelve un vector, a veces hay algunos vectores interesantes que pones y sacas casi lo mismo. ¿Casi? Bueno, la función te da el mismo vector (luego la misma dirección) pero a menudo con una longitud de diferencias. El factor por el cual difiere del original se llama vectores “Eigenvalue”, y los vectores con los que esto funciona se llaman “Eigenvectors” para el Eigenvalue correspondiente.

“Eigen” es una palabra alemana que significa aproximadamente “uno mismo” o “propio”. Se eligió ese nombre porque el valor propio y los vectores propios de una función lineal caracterizan muy bien la función y casi parecen ser la esencia de la función.

La ecuación de valor propio se ve así:

f (x) = λ × x | donde x es el vector propio y lambda es el valor propio. La imagen es que una función puede convertir un vector o desplazarlo más o menos, pero algunos permanecerán en el mismo lugar y simplemente se estirarán y permanecerán en la misma línea.

Puedes decir “Entonces, ¿para qué sirve esto?”. El valor propio, por poco interesante que parezca al principio, tiene muchas aplicaciones en todas partes. Por ejemplo, si construye un puente, debe asegurarse de que no oscile y se agite. Para eso, necesita saber cuál es la frecuencia natural que tiene el puente cuando giraría. Esa frecuencia es un valor propio de alguna función en el problema que está investigando.

Answer 3

Los valores propios se definen como “cualquier cantidad escalar tal que la matriz dada menos ese número de veces que la matriz de identidad tiene un determinante cero.

Valores propios de la matriz idempotente = 0/1

Valores propios de la matriz involuntaria = + 1 / -1

Valores propios de la matriz nilpotente = 0

Para obtener una explicación más detallada sobre los valores propios, las propiedades de los valores propios y la prueba de los valores propios de las matrices cuadradas, puede consultar

Answer 4

Considera una transformación lineal

[matemáticas] T: {\ R} ^ n [/ matemáticas] → [matemáticas] {\ R} ^ n [/ matemáticas]

Suponga que la representación matricial de esta transformación (y esta existe; esta es la base de las transformaciones lineales) es [matemática] A \ en M_ {n} (\ R) [/ matemática].

Luego, para algunos vectores [matemática] x \ in {\ R} ^ n [/ matemática], [matemática] T (x) = Ax \ in {\ R} ^ n [/ matemática]. Entonces, lo que está haciendo la transformación es mapear un vector en [math] {\ R} ^ n [/ math] a un vector en [math] {\ R} ^ n [/ math].

Ahora, ¿qué matrices [matemáticas] A \ en M_ {n} (\ R) [/ matemáticas] tienen la propiedad de que solo multiplican el vector por una constante? Es decir,

Para qué [math] A \ in M_ {n} (\ R) [/ math] tenemos la propiedad de que [math] Ax = \ lambda x [/ math] donde [math] \ lambda \ in \ R [/ matemáticas]? Esto no es tan simple como dividir entre [matemáticas] x [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] A = \ lambda [/ matemáticas]. Esto no tiene sentido en el mundo de las matrices.

El valor de [math] \ lambda [/ math] que satisface esto se conoce como un valor Eigen. Estabiliza los vectores.

Para determinar este valor, necesitamos resolver la siguiente ecuación

[matemática] det (A – \ lambda I) = 0 [/ matemática]

En el caso general, habrá [math] n [/ math] respuestas para [math] \ lambda [/ math] (no necesariamente único).

Answer 5

A2A, gracias.

Es mejor comenzar hablando de lo que es un eivenvector. Si A es una transformación lineal de un espacio vectorial V a V , una de las preguntas importantes sobre A es: ¿Qué subespacios de V conserva A (es decir, se asignan a sí mismos)? En otras palabras, ¿qué subespacios de V son invariantes A ? (Subespacio invariante)

Si dichos subespacios resultan ser unidimensionales, entonces se genera por un solo vector, x . Entonces Ax pertenece a los subespacios unidimensionales generados por x ; es decir, existe un p escalar tal que Ax = px . El vector x se llama entonces un vector propio de A , y p se llama el valor propio de A correspondiente al vector propio x .

Answer 6

Cuando tiene una función lineal f, un espacio vectorial V entonces un vector v en V se llama vector propio si hay un escalar a para que:

f (v) = av

Este escalar a se llama valor propio.

Answer 7

Aquí hay un intento de explicar los valores propios de una manera muy simple con una analogía interesante:

Gracias,

Prithivi