¿Cómo entender profundamente el concepto de ángulo (p. Ej., El ángulo entre dos funciones)? ¿Por qué tiene sentido usar un producto interno para definirlo?

Answer 1

Básicamente, puede pensar en el ángulo entre las cosas como una medida de cuán similares son entre sí. Por ejemplo, si dos vectores apuntan en la misma dirección, entonces son iguales (hasta escala), por lo que el producto de puntos es positivo. Si apuntan en direcciones opuestas, entonces es negativo. Y si son ortogonales, entonces son tan diferentes como parece, y el producto escalar es cero.

(Probablemente debería mencionar aquí que en 2D y 3D, el producto de punto entre vectores es [matemáticas] \ langle u, v \ rangle = \ left \ lVert u \ right \ rVert \ left \ lVert v \ right \ rVert cos (\ theta) [/ math], es por eso que trato los productos de punto y los ángulos de la misma manera. Se mueve la mano, pero lo que sea).

De todos modos, ¿qué función es la “más diferente” que [math] cos (x)? [/ Math]

Bueno, sería bueno si resultara ser [math] sin (x). [/ Math]

Una posible forma de definir el producto punto entre funciones es

[matemáticas] \ langle f, g \ rangle = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} f (x) g (x) dx \ tag * {} [/ math]

También tenga en cuenta que esto es realmente muy similar al producto punto entre vectores:

[matemáticas] \ langle u, v \ rangle = \ sum_ {i = 1} ^ n u_i v_i \ tag * {} [/ math]

La suma simplemente se convirtió en una integral, y los límites cambiaron. De todos modos, ¿qué sucede si tomamos el producto de punto entre [math] cos (x) [/ math] y [math] sin (x) [/ math]? Algo realmente genial en realidad:

[matemáticas] \ begin {align *} \ langle cos, sin \ rangle & = \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} cos (x) sin (x) dx \ tag * {} \\ & = 0.5 \ int 2cos (x) sin (x) dx \ tag * {} \\ & = 0.5 \ int sin (2x) dx \ tag * {} \\ & = 0.5 \ cdot 0.5 (-cos (2x)) \ bigg \ rvert _ {- \ pi} ^ {\ pi} \ tag * {} \\ & = -0.25 cos (2 \ pi) – (-0.25 \ cos (-2 \ pi)) \ tag * {} \\ & = -0.25 + 0.25 = 0 \ tag * {} \\ \ end {align *} [/ math]

¡Lo que significa que son ortogonales!

Esto también nos puede llevar a la idea de la serie de Fourier, que dice que cualquier función puede ser representada (aproximadamente) por una suma ponderada de cosenos y senos. ¿Porqué es eso? Supongamos que tiene dos vectores ortogonales en 2D. Luego puede obtener cualquier vector como una suma ponderada de estos dos vectores (intente dibujarlo si no está convencido). Entonces decimos que estos vectores forman una base del plano 2D. Son lo suficientemente buenos como para capturar todo sobre el avión.

Bueno, vimos que el coseno y el seno son ortogonales entre sí, así que ¿no podemos usarlos? Resulta que no son suficientes (al igual que en 3D, dos vectores no son suficientes). ¿Qué hay de todas las funciones del formulario?

[matemática] sin (\ frac {2 \ pi n} {P}) \ tag * {} [/ matemática]

[matemáticas] cos (\ frac {2 \ pi n} {P}), \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

donde [matemáticas] n [/ matemáticas] es un número entero y [matemáticas] P [/ matemáticas] es algún número real? Eso es mejor, aunque explica por qué está más involucrado. Pero la intuición básica es que capturan suficiente información y, por lo tanto, abarcan todo el espacio de funciones, al igual que nuestros dos vectores ortogonales abarcan todo el plano 2D (es decir, puede expresar cualquier vector como una suma ponderada de sus vectores básicos).

Answer 2

Yo diría que estás combinando dos cosas diferentes: el ángulo y el producto interno o puntual.

Suponiendo vectores regulares de longitud finita, el producto de puntos es una relación algebraica simple que nos informa sobre la proyección de un vector sobre otro. Úselo cuando sea posible.

El ángulo está relacionado con el producto escalar a través de una función trigonométrica trascendental y su inverso. Estamos introduciendo procesos infinitos además de nuestro agradable producto de puntos finitos. Evitar cuando sea posible.

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Tomemos el caso más simple de líneas a través del origen. Definimos [matemática] [a: b] [/ matemática] como la línea a través de [matemática] (0,0) [/ matemática] y [matemática] (a, b) [/ matemática], a saber [matemática] bx = ay [/ math] [math]. [/ math]

Ahora queremos una medida [matemática] S [/ matemática] de la diferencia entre dos líneas [matemática] [a: b] [/ matemática] y [matemática] [c: d]. [/ Matemática] Podríamos imponer los criterios : (1) Para líneas idénticas, obtenemos el mínimo [math] S = 0 [/ math]. (2) Para las líneas perpendiculares, que forman el “ángulo” más grande cuando usamos líneas en lugar de los rayos habituales, asignamos el máximo [matemáticas] S = 1. [/ Matemáticas]

Un producto de punto cero [matemática] ac + bd = 0 [/ matemática] nos dice que las líneas son perpendiculares. Una relación constante que produce [math] ad-bc = 0 [/ math] nos dice que las líneas son las mismas. Sobre la fórmula más simple que podemos escribir es

[matemáticas] S ([a: b], [c: d]) = 1 – \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {f} [/ matemáticas]

y queremos encontrar [matemática] f [/ matemática] tal que [matemática] S ([a: b], [ra, rb]) = 0 [/ matemática]

[matemáticas] f = (ra ^ 2 + rb ^ 2) ^ 2 = r ^ 2 (a ^ 2 + b ^ 2) ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2) ((ra) ^ 2 + (rb ) ^ 2) [/ matemáticas]

Está bastante claro que la [matemática] f [/ matemática] general debe ser [matemática] (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2). [/ Matemática] Entonces, en lugar de ángulo, hemos descubierto la extensión entre dos líneas:

[matemáticas] S ([a: b], [c: d]) = 1 – \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) }[/matemáticas]

Sabemos por números complejos que [matemáticas] | a-bi | ^ 2 | c + di | ^ 2 = | (a-bi) (c + di) | ^ 2. [/ math] Si ampliamos esto, obtenemos la Identidad de Fibonacci (probablemente conocida por Diophantus un milenio antes)

[matemáticas] (a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) = (ac + bd) ^ 2 + (ad-bc) ^ 2 [/ matemáticas]

Si nos dividimos por el lado izquierdo, obtenemos otra forma para [math] S [/ math]:

[matemáticas] S ([a: b], [c: d]) = 1 – \ dfrac {(ac + bd) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2) } = \ dfrac {(ad-bc) ^ 2} {(a ^ 2 + b ^ 2) (c ^ 2 + d ^ 2)} [/ math]

Lo que tenemos aquí como extensión es uno menos el coseno al cuadrado. Es igual a seno cuadrado. El coseno cuadrado proviene directamente de la cuadratura y la normalización del producto escalar. El seno cuadrado proviene de la cuadratura y la normalización del producto cruzado.

Pero lo hicimos sin ninguna función de trigonometría o ángulos ni nada de eso. El término técnico es geometría proyectiva unidimensional, pero es más fácil pensarlo como líneas a través del origen.

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Podríamos seguir en varias direcciones desde aquí. Para el producto de punto usamos [math] ac + bd [/ math], pero realmente hay otras tres formas bilineales que podríamos probar. Hay [math] ac-bd, [/ math] [math] ad + bc [/ math] y [math] ad-bc. [/ Math] Vamos a dar un paso.

Y si

[matemáticas] T ([a: b], [c: d]) = 1 – \ dfrac {(ac-bd) ^ 2} {g} [/ matemáticas]

Procediendo como antes,

[matemáticas] 0 = T ([a: b], [ra: rb]) = 1 – \ dfrac {(ra ^ 2-rb ^ 2) ^ 2} {g} [/ matemáticas]

[matemáticas] g = (a ^ 2-b ^ 2) ((ra) ^ 2- (rb) ^ 2) [/ matemáticas]

entonces el caso general es

[matemáticas] T ([a: b], [c: d]) = 1 – \ dfrac {(ac-bd) ^ 2} {(a ^ 2-b ^ 2) (c ^ 2-d ^ 2) }[/matemáticas]

El uso de [math] T [/ math] como reemplazo del ángulo en lugar de [math] S [/ math] proporciona una especie de geometría hiperbólica y relativista. Curiosamente, no hemos hecho nada aquí que no se haya podido hacer cientos de años antes de la relatividad.

Si aplicamos la variante relevante de la identidad de Fibonacci, encontraríamos nuevamente el producto cruzado en el numerador. El producto cruzado no tiene una geometría como esta por sí mismo, pero participa como el numerador en el “seno cuadrado” de los otros tres.

Dejaré [math] ad + bc [/ math] para que lo pruebes.

Si necesita un proyecto, muestre en las tres geometrías que la Fórmula Triple Spread es verdadera:

Dadas tres líneas a través del origen [matemática] [a: b] [/ matemática], [matemática] [c: d] [/ matemática] y [matemática] [e: f] [/ matemática] formando tres spreads, [matemática ] s = S ([a: b], [c: d]), [/ math] [math] t = S ([a: b], [e: f]) [/ math] y [math] u = S ([c: d], [e: f]) [/ math] mostrar

[matemáticas] (s + t + u) ^ 2 = 2 (s ^ 2 + t ^ 2 + u ^ 2) + 4stu [/ matemáticas]

Referencia: NJ Wildberger / Cromogeometría