¿Cuál es el significado físico de los valores propios de una matriz?
Antes de continuar y ver cuál es el significado de los “valores propios” de una matriz, veamos un caso en el que podemos crear un escenario para comprender el significado físico de los valores propios. Considere el siguiente sistema de ecuaciones.
[matemáticas] \ begin {ecation} 3x_1 – x_2 = 6 \ end {ecation} [/ math]
[matemáticas] \ begin {ecation} -x_1 + 3x_2 = 5 \ end {ecation} [/ math]
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Podemos escribir este sistema anterior como
[matemáticas] \ begin {bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \ end {bmatrix} [/ math], [math] \ textbf {x} = \ begin {bmatrix} x_1 \\ x_2 \ end {bmatrix } ~ [/ math] y [math] ~ \ textbf {b} = \ begin {bmatrix} 6 \\ 5 \ end {bmatrix} [/ math]
Entonces, [matemáticas] ~ \ begin {ecation} \ textbf {A} \ textbf {x} = \ textbf {b} \ end {ecation} [/ math]
La ecuación anterior se puede interpretar como una matriz [matemática] ~ \ textbf {A} ~ [/ matemática] que actúa sobre un vector [matemática] ~ \ textbf {x} ~ [/ matemática] y que produce [matemática] ~ \ textbf {b} ~ [/ matemáticas].
Este acto en el vector [math] ~ \ textbf {x} ~ [/ math] consiste en dos cosas: ¡escalar y rotar! Y el resultado de tal acción es [math] ~ \ textbf {b} ~. [/ Math] Pero desde esta matriz de la dimensión de [math] ~ 2 \ times 2 ~ [/ math], las cosas son fáciles. ¿Qué pasa si el sistema es enorme, es decir, las dimensiones de [math] ~ \ textbf {A} ~ [/ math] son grandes. Definitivamente le gustaría tener algo de ventaja en [matemáticas] ~ \ textbf {A} ~ [/ matemáticas] para simplificar las cosas, para simplificar el curso de la acción de [matemáticas] ~ \ textbf {A} ~ [/ matemáticas ] en cualquier vector, para conocer algunas características de [math] ~ \ textbf {A} ~ [/ math]. Tales características ayudarán a nuestras simplificaciones en gran medida.
Continuemos con [math] ~ \ textbf {A} = \ begin {bmatrix} 3 & -1 \\ -1 & 3 \ end {bmatrix} ~ [/ math]. Tomamos un vector aleatorio [math] ~ \ textbf {x} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \ end {bmatrix} ~. [/ Math] Luego [math] ~ \ textbf {Ax} = \ begin {bmatrix } 3 \\ – 1 \ end {bmatrix} ~. [/ math] Esto se puede representar en una gráfica como se muestra a continuación.
Repita lo mismo en otro vector aleatorio [math] ~ \ textbf {x} = \ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \ end {bmatrix} ~. [/ Math] Entonces [math] ~ \ textbf {Ax} = \ begin {bmatrix} -1 \\ 3 \ end {bmatrix} ~. [/ math] Esto se puede representar en una gráfica como se muestra a continuación.
Puede observar en ambas figuras, [math] ~ \ textbf {x} ~ [/ math] cambiado a [math] ~ \ textbf {Ax} ~ [/ math], rotado y escalado . Pero, ¿señalan alguna característica especial de [math] ~ \ textbf {A} ~ [/ math]? No. Bien, veamos un vector especial [matemáticas] ~ \ textbf {x} = \ begin {bmatrix} 1 \\ 1 \ end {bmatrix} ~ [/ math] y veamos cuál es la acción de [math] ~ \ textbf {A} ~ [/ math] en esto es. Obtenemos [math] ~ \ textbf {Ax} = \ begin {bmatrix} 2 \\ 2 \ end {bmatrix} ~. [/ Math] Trazamos lo mismo.
¿Qué observas de esta trama de arriba?
La acción resultante de [matemática] ~ \ textbf {A} ~ [/ matemática] en [matemática] ~ \ textbf {x} ~ [/ matemática] no rotó [matemática] ~ \ textbf {x} ~ [/ matemática ], y acaba de escalar a un cierto valor. Pero esto no sucedió con ningún otro vector, ¿verdad? Esto apunta a una cierta característica de [math] ~ \ textbf {A} ~ [/ math], que tiene algunos vectores favorecidos . Por lo tanto, cuando [math] ~ \ textbf {A} ~ [/ math] actúa sobre estos vectores favorecidos, la acción solo resulta en escalar el vector, rotación nula.
Y estos vectores favorecidos se denominan popularmente como los vectores propios y la cantidad por la cual cada escala de estos vectores se denomina como el valor propio , con la palabra ” eigen ” , una palabra alemana, que significa característica.
Entonces, esencialmente los vectores propios y los valores propios son vectores característicos y valores característicos de cualquier matriz, respectivamente. ¿Cómo ayudan ellos? Vaya a matrices de dimensiones superiores y podrá ver cómo simplifican su trabajo.
Editar: es posible que desee ver esta respuesta también en valores propios complejos.