Hay varios propósitos, dependiendo del contexto. Geométricamente hablando, una matriz [matemática] n \ veces n [/ matemática] describe una transformación de [matemática] \ matemática {R} ^ n [/ matemática] en sí misma, y el determinante nos dice qué sucede con las longitudes (si [matemática ] n = 1 [/ matemática]), áreas (si [matemática] n = 2 [/ matemática]), volúmenes (si [matemática] n = 3 [/ matemática]), etc. Un aspecto importante de esto se ilustra mejor con un par de ejemplos
Primero, grabemos un rectángulo enumerando sus vértices como vectores de columna. Entonces, si quiero que los vértices sean (0,0), (3,0), (3,20) y (0,20), entonces representaré el rectángulo como la matriz
[matemática] \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 20 & 20 \ end {array} \ right) [/ math]
No calcularemos el determinante de esta matriz, porque no podemos: no es una matriz cuadrada.
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Acabamos de notar que tiene un área 60 … y ahora, hagámosle cosas.
Primero, desinflemos principalmente usando la matriz de transformación [math] \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0.1 \ end {array} \ right) [/ math] ¿Cómo? Por multiplicación a la izquierda. Nuestro nuevo rectángulo es descrito por el producto matriz.
[matemática] \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0.1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 y 0 y 20 y 20 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {cccc} 0 y 3 y 3 y 0 \\ 0 y 0 y 2 y 2 \ end {array} \ right ).[/matemáticas]
El nuevo rectángulo tiene área 6, lo cual es de esperar ya que nuestra matriz de transformación tiene determinante [matemática] (1) (. 1) – (0) (0) =. 1 [/ matemática] y [matemática] (. 1 ) (60) = 6 [/ matemáticas].
Como comentario adicional, tenga en cuenta que la misma transformación envía el triángulo del área 40
[math] \ left (\ begin {array} {ccc} 0 y 8 y 12 \\ 10 y 10 y 0 \ end {array} \ right) [/ math]
al área 4 triángulo
[matemática] \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 0.1 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {ccc} 0 & 8 y 12 \\ 10 & 10 & 0 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {ccc} 0 & 8 & 12 \\ 1 & 1 & 0 \ end {array} \ right) [/ math],
así que al menos vemos dos áreas diferentes que reciben el mismo tratamiento determinante de la transformación dada.
Este tipo de deformación acerca algunos puntos, pero no hace que ningún punto choque. Por lo tanto, se puede deshacer. El inverso de nuestra matriz de transformación es
[matemática] \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 0 \\ 0 & 10 \ end {array} \ right) [/ math],
que tiene el determinante 10. Probablemente puedas imaginar que si vas a deshacer una transformación, también tendrás que deshacer sus efectos en el área; y multiplicar por 10 deshace la multiplicación por 0.1.
Por otro lado, la matriz de transformación.
[matemática] \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \ end {array} \ right) [/ math]
tiene determinante [matemática] (1) (4) – (2) (2) = 0 [/ matemática]. Cuando lo aplicamos a nuestro rectángulo original, obtenemos una nueva forma con vértices
[matemática] \ left (\ begin {array} {cc} 1 & 2 \\ 2 & 4 \ end {array} \ right) \ left (\ begin {array} {cccc} 0 & 3 & 3 & 0 \\ 0 y 0 y 20 y 20 \ end {array} \ right) = \ left (\ begin {array} {cccc} 0 y 3 y 43 y 40 \\ 0 y 6 y 86 y 80 \ end {array} \ right ).[/matemáticas]
Si bien es cierto que algunos puntos (como el primer y tercer vértices) se han extendido bajo esta transformación, también es cierto que todos los vértices de la nueva forma se encuentran en la línea
[matemáticas] y = 2x. [/ matemáticas]
Es decir, mientras nuestro rectángulo se estiraba en una dirección, también se aplastaba por completo en otra. Su área se ha multiplicado por 0, y de esto no puede haber recuperación.
Esto resalta un hecho importante sobre el determinante cuyas implicaciones están mucho más allá de lo geométrico: una matriz con determinante 0 representa una pérdida irreversible de información (es decir, la capacidad de distinguir entre ciertos puntos de entrada), por lo que la matriz no es invertible.