¿El álgebra lineal en Axler Linear Algebra Done Right es suficiente para estudiar la mecánica cuántica?

Answer 1

Añadiría a las respuestas ya dadas en otra pregunta sobre la necesidad de introducir el concepto de determinantes, que el determinante tiene un lugar fundamental dado en el álgebra lineal y el problema de estabilidad de los operadores lineales. Por ejemplo, los coeficientes del polinomio característico, P, asociado con un operador lineal A está directamente relacionado con los invariantes fundamentales de A, en términos de las llamadas trazas de orden superior de A. En particular, el término constante en el polinomio P se relaciona al determinante La evaluación de estos rastros revela una estructura teórica grupal interesante, es decir, la suma de todas las clases del grupo simétrico. Incluso si cada familia de matrices tiene su propio polinomio P, los invariantes fundamentales no son suficientes para caracterizar de manera única a dicha familia. Sin embargo, evitar determinantes no tiene sentido para un matemático (así como para físicos cuánticos y químicos cuánticos) interesado en una comprensión más completa del álgebra lineal.

En conclusión, el “Álgebra Lineal” de Axler no es una buena base matemática para la mecánica cuántica y sus aplicaciones a problemas físicos y químicos.

Para un tratamiento excelente, pedagógico y completo, recomiendo “Álgebra lineal para la teoría cuántica” Wiley, ISBN 0–471–19958–3, 1998 por Po Löwdin.

Answer 2

Eh depende.

Si realmente quiere comprender los fundamentos matemáticos y la construcción de la teoría, necesitará profundizar en el análisis funcional. Esto es esencialmente álgebra lineal en dimensiones infinitas, pero es sustancialmente diferente y requiere un conjunto de herramientas completamente diferente.

Si desea seguir este camino, le recomendaría algo como el Análisis funcional introductorio de Krieszigs con aplicaciones, desarrollará toda la teoría que necesita. También es bastante bueno en el manejo de material que a veces se puede presentar como muy seco y técnico.

Por otro lado, pocos, si los hay, estudiantes universitarios de física tienen experiencia real con el análisis funcional y parecen funcionar bien, por lo que si solo está buscando estudiarlo como parte de la física, probablemente esté bien (pero no prometo nada, No soy muy físico). La intuición que desarrolle a partir del álgebra lineal será útil, pero tenga cuidado de no dejar que lo extravíe, no todo lo que es cierto para los casos de dimensiones finitas es cierto en general, además, a menudo, los resultados análogos tienen algunas sutilezas.

Si solo quieres la conexión a tierra en álgebra lineal, entonces el curso de Axler estará bien. También sería útil cierta base en la teoría de grupos (tal vez incluyendo la teoría de la representación). Escuché que la teoría de grupos y la mecánica cuántica tienen una buena presentación del material, pero nunca lo he leído yo mismo y no sé a qué nivel está dirigido.

Answer 3

Primero, esto no pretende ser una respuesta completa. Pero, creo que la Teoría del Grupo debería abordarse. A menudo se usa para aplicar la mecánica cuántica. De hecho, apoya tanto el desarrollo en física atómica, nuclear y en general de partículas que no creo que pueda hacer justicia hasta ese punto.

Basado en lo incompleto de mi respuesta, siéntase libre de suprimirla; pero puede dejarlo expuesto por un tiempo para que otros lo agreguen y aclaren la necesidad de la teoría de grupos en el estudio de la mecánica cuántica.