¿Es un vector un objeto más abstracto que un tensor?

Answer 1

Es difícil decir exactamente lo que quiere, ya que parece insultar a las personas que responden incorrectamente.

No considero que “un vector” sea una cosa, de forma aislada. Un vector es un miembro de un espacio vectorial, lo que significa que, dentro de ese espacio vectorial, tiene ciertas propiedades: los vectores en un espacio vectorial forman un grupo abeliano, los espacios vectoriales están asociados con un campo y el producto de un vector y un el elemento de campo se distribuye tanto en la suma del vector como en la suma del campo).

Entonces, dado un espacio vectorial [math] \ mathbf {V} = (\ mathbb {V}, \ mathbb {F}) [/ math], podemos definir un lineal funcional [math] F: \ mathbb {V} \ a \ mathbb {F} [/ math] como una función de vectores en el espacio vectorial al campo, de modo que [math] F (a \ vec {v} + b \ vec {u}) = aF (\ vec { v}) + bF (\ vec {u}) [/ math].

Las funciones lineales para un espacio vectorial dado también obedecen las reglas de un espacio vectorial: si [math] F, G [/ math] son ​​funcionales lineales en [math] \ mathbf {V} [/ math], entonces también lo son las funciones [matemática] F + G [/ matemática] y [matemática] aF, aG [/ matemática]. No es el mismo espacio vectorial que [math] \ mathbf {V} [/ math], pero (al menos para espacios vectoriales de dimensiones finitas) es isomorfo a [math] \ mathbf {V} [/ math]. Este espacio vectorial de funciones lineales en [math] \ mathbf {V} [/ math] se denomina espacio vectorial dual [math] \ mathbf {V ^ *} [/ math].

Un tensor es un [matemático] T (\ vec {v_1}, \ ldots, \ vec {v_n}, \ vec {f_1}, ldots, \ vec {f_m}) [/ math] funcional multilineal donde [math] \ vec {v_i} \ in \ mathbf {V}, \ vec {f_i} \ in \ mathbf (V ^ *) [/ math]. Existen diferentes tipos de tensores, con diferentes opciones para [math] n, m [/ math], para un espacio vectorial dado, pero debe quedar claro que los tensores en [math] \ mathbf {V} [/ math] con el mismo [math] n, m [/ math] forman un espacio vectorial propio.

Entonces los tensores son vectores, pero no en el mismo espacio vectorial que los vectores en los que operan.

Los funcionales lineales son tensores, con [matemática] n = 1, m = 0 [/ matemática]. Los productos de puntos son tensores, con [matemática] n = 1, m = 1 [/ matemática]. Si permite que las funciones tengan 0-arity, las funciones que devuelven valores de campo constantes, [math] F: \ mathbb {V} ^ 0 \ to \ mathbb {F} [/ math] son ​​tensores.

Los tensores en un espacio vectorial de dimensión finita [math] \ mathbf {V} [/ math] pueden representarse mediante una matriz [math] n + m [/ math] -dimensional de elementos de [math] \ mathbb {F} [ / math] con [math] | \ mathbb {V} | [/ math] elementos por lado (para un total de [math] | \ mathbb {V} | ^ {n + m} [/ math] elementos), pero eso es solo una representación, no lo que, fundamentalmente, es un tensor. La forma particular de esa representación depende de la base, mientras que el tensor en sí no depende de una base, como tampoco lo hace una transformación lineal.

Como tal, aunque todos los tensores son miembros de un espacio vectorial, todos los tensores son vectores, no se sigue que todos los vectores sean tensores.

Para dar un ejemplo, tome el espacio vectorial [math] \ mathbf {P_2} [/ math] de polinomios cuadráticos y los funcionales lineales en ellos. Un ejemplo de una función lineal en ellos es [matemática] f (ax ^ 2 + bx + c) = a [/ matemática], y otra funcional lineal es [matemática] f (p) = \ int_0 ^ 1 p dx [/ matemáticas].

Los funcionales lineales son tensores, pero los polinomios cuadráticos no lo son.

Answer 2

¿Definiciones de física o matemáticas? Hay una diferencia tangible.

Trabajemos primero con las matemáticas . ¡Prepárate para un montón de definiciones!

Un vector es un elemento de un espacio vectorial V sobre un campo [math] \ mathbb {F} [/ math]. Un “espacio vectorial”, por definición, satisface un montón de axiomas, y eso es todo lo que necesita para que algo sea un vector. Los matemáticos a veces llaman espacios vectoriales [math] \ mathbb {F} [/ math] -modules. (un “módulo” es solo un espacio vectorial donde sus escalares no tienen que ser elementos de un campo. Un módulo [math] \ mathbb {F} [/ math] es precisamente un espacio vectorial)

El producto tensor se define, en matemática pura, de manera abstracta. Primero, tenga en cuenta que A \ times B, el producto cartesiano, ya es un espacio vectorial. Luego, tenga en cuenta que cuando se discute el producto tensorial, uno se encuentra con el mapa [math] u: A \ times B \ to A \ otimes B [/ math], que actúa como [math] u (a, b) = a \ otimes b [/ math]. Luego haga la siguiente definición:

“Dados dos espacios vectoriales [matemática] A [/ matemática] y [matemática] B [/ matemática], [matemática] A \ otimes B [/ matemática] es el espacio vectorial único (junto con la inyección [matemática] u: A \ times B \ to A \ otimes B [/ math]) tal que, para cualquier espacio vectorial [math] C [/ math] y cualquier mapa bilineal [math] f: A \ times B \ to C [/ math], existe un mapa lineal único [math] \ phi: A \ otimes B \ to C [/ math] tal que [math] \ phi \ circ u = f [/ math] ”

Se considera que todos los espacios vectoriales están sobre el mismo campo [math] \ mathbb {F} [/ math]. (Uno dice que estamos trabajando en la categoría de módulos \ mathbb {F}).

Todo esto es genial y demasiado complicado (se estudia en álgebra abstracta de pregrado avanzado o graduado principiante), pero quiero enfatizar una frase: “[matemáticas] A \ otimes B [/ matemáticas] es el espacio vectorial único …”

Entonces, con las definiciones matemáticas, todos los tensores son vectores. Todas las formas de una y dos y n formas son vectores (en el sentido de que son elementos de un espacio vectorial). Incluso un campo puede considerarse como un espacio vectorial sobre sí mismo.

Pero a veces se necesitan otros tipos de productos tensoriales, como el producto tensorial que un físico necesita al hacer mecánica cuántica.

La física a continuación. Más específicamente, la relatividad general.

La relatividad general se define en el contexto de una variedad diferenciable imbuida de una métrica pseudoriemanniana. Ni siquiera voy a tratar de definir todo eso aquí.

Un vector tiene un significado diferente y muy específico: algo es un vector si es un elemento del espacio tangente a un punto en la variedad, [math] v \ in T_p [/ math].

Algo es un covector si es un elemento del espacio dual al espacio tangente a un punto en el múltiple. Tenemos un buen isomorfismo entre los patrones y los vectores (en dimensiones finitas), donde el componente [math] a [/ math] correspondiente al vector [math] u [/ math] es el que envía cualquier vector [math] v [ / matemáticas] a [matemáticas] g (u, v) [/ matemáticas]. ([math] a \ in T_p ^ * [/ math] es una función [math] a: T_p \ to \ mathbb {F} [/ math] dada por [math] a (v) = g (u, v) [/matemáticas])

Algo es un tensor si es el producto tensorial (en dimensiones finitas, la definición abstracta de la sección anterior funciona bien) de vectores y codificadores.

Entonces, con esas definiciones, un tensor es más general que los vectores o los patrones.

En diferentes dominios de la física, otras definiciones se vuelven importantes.

Resumen:

Depende de qué definiciones tomes. Con todas las definiciones que he dado, no es de extrañar que haya tanta confusión sobre la pregunta, “¿qué es un producto tensorial?”. Es mucho entender, sin duda. He asistido a dos clases de álgebra abstracta de posgrado, dos clases de relatividad general de posgrado y un libro (Renteln’s Manifolds, Tensors, and Forms, que recomiendo encarecidamente) para finalmente tener una idea clara de ello. Solo asegúrate de que antes de discutir con la gente sobre qué propiedades satisface un tensor, obtienes tus definiciones directamente 🙂

Answer 3

(Editar: mi respuesta asume que la pregunta se planteó sobre vectores, como se usa en física y análisis de vectores. Ahora sospecho que la pregunta original era sobre vectores como se usa en álgebra / espacios vectoriales. Ver la respuesta de David Moore.

(Editar: Leo Kovacic pide un ejemplo de un vector que no sea un tensor. Esa es una pregunta interesante, y no sé la respuesta, pero aquí hay un punto de partida: el espacio dual de un espacio vectorial es el espacio de todas las formas 1 (básicamente, funciones lineales) definidas en un espacio vectorial. Para espacios vectoriales de dimensiones finitas, el doble espacio doble, es decir, el espacio dual del espacio dual) es siempre isomorfo al espacio original. Esto significa que un espacio vectorial dimensional finito siempre es isomorfo a un tensor. Por lo tanto, necesitamos mirar espacios vectoriales dimensionales infinitos. Si recuerdo correctamente (y mi memoria podría estar resbalando aquí) para espacios vectoriales de dimensiones infinitas, el doble dual nunca es isomorfo al espacio vectorial original. Eso es lo más lejos que puedo ir).

No. Un vector es un tensor, por lo que un vector no puede ser más abstracto que un tensor. Los tensores son un concepto más general, así que supongo que se podría decir que un tensor es más abstracto que un vector.

Answer 4

Ambos son igualmente abstractos. pero siempre hay una intuición detrás de esto. los vectores mueven un solo punto del punto a al punto b. Las matrices son transformaciones de ejes xyz. manteniendo la función estacionaria. Los tensores son una matriz de matrices. es decir, matrices de una dimensión superior. puede asignar el tiempo como parámetro, ya que cada segmento de tiempo es una matriz … o convertir partículas o puntos en el espacio en una línea numérica y relacionarlo con un vector (puede usarse para describir la tensión y la deformación de metales y otras cosas). Para comprender completamente el concepto de tensores, imagine 10 autos alejándose uno del otro al mismo tiempo a diferentes velocidades. Y tienes una regla elástica. ¿Cómo describirías todos sus movimientos a la vez? la regla original sin estirar es la función / vector. El acto de estirarlo es el propósito de las matrices. Lo que hace es esencialmente decir, solo obtuve este vector / función, pero puedo cambiar el espacio para estirar / cambiar la dirección de este vector para describir el movimiento de cualquier automóvil que desee.