¿Cuál es el valor de la integral [matemáticas] \ int _ {\ pi} ^ {2 \ pi} \ frac {(x ^ 2 + 2) cosx} {x ^ 3} \, dx [/ matemáticas]?

Answer 1

A2A : –

[matemáticas] \ implica I = \ displaystyle \ int \ dfrac {(x ^ 2 + 2) \ cos x} {x ^ 3} \, dx [/ math]

[math] \ star [/ math] Sepáralos: –

[matemáticas] \ implica I = \ underbrace {\ displaystyle \ int \ dfrac {\ cos x} {x} \, dx} _ {I_1} + \ displaystyle \ int \ dfrac {2 \ cos x} {x ^ 3} \, dx [/ math]

[math] \ star [/ math] Aplicar integración por partes a [math] I_1 [/ math]: –

[matemáticas] \ implica I = \ dfrac {\ sin x} {x} + \ underbrace {\ displaystyle \ int \ dfrac {\ sin x} {x ^ 2} \, dx} _ {I_2} + \ displaystyle \ int \ dfrac {2 \ cos x} {x ^ 3} \, dx [/ math]

[math] \ star [/ math] Aplica la integración por partes nuevamente a [math] I_2 [/ math]: –

[matemáticas] \ implica I = \ dfrac {\ sin x} {x} – \ dfrac {\ cos x} {x ^ 2} – \ require {cancel} \ cancel {\ displaystyle \ int \ dfrac {2 \ cos x } {x ^ 3} \, dx} + \ require {cancel} \ cancel {\ displaystyle \ int \ dfrac {2 \ cos x} {x ^ 3} \, dx} [/ math]

[matemáticas] \ implica \ boxed {I = \ left [\ dfrac {\ sin x} {x} – \ dfrac {\ cos x} {x ^ 2} \ right] + C} [/ math]

[matemáticas] \ estrella [/ matemáticas] Al aplicar límites: –

[matemáticas] \ implica I = \ left [\ dfrac {\ sin x} {x} – \ dfrac {\ cos x} {x ^ 2} \ right] _ {\ pi} ^ {2 \ pi} [/ math ]

[math] \ implica \ boxed {I = – \ dfrac {5} {4 \ pi ^ 2}} [/ math]

[math] \ star [/ math] Nota: Integración por partes: –

[matemáticas] \ displaystyle \ int f (x) \ cdot g (x) \, dx = f (x) \ cdot \ displaystyle \ int g (x) \, dx- \ displaystyle \ int \ left [f ‘(x ) \ cdot \ left (\ displaystyle \ int g (x) \, dx \ right) \ right] \, dx [/ math]

Answer 2

Es simplemente la aplicación de Integration By Parts (IBP) dos veces. Comience a considerar el caso indefinido. Tome I = int cosx / x dx. La aplicación de IBP produce I = (1 / x) sinx + int sinx / x ^ 2 dx. nuevamente para que sinx / x ^ 2 obtenga int sinx / x ^ 2 = (1 / x ^ 2) (- cosx) -int 2 / x ^ 3 cosxdx..Así que obtenemos \ int cosx / x = (1 / x) sinx- (1 / x ^ 2) cosx- \ int (2 / x ^ 3) cosx. Entonces, ahora que hemos terminado, envíe la integral de derecha a izquierda para obtener \ int (x ^ 2 + 2 ) cosx / x ^ 3 = (sinx / x-cosx / x ^ 2) + c. Ahora, al poner los límites, se obtiene el valor de la integral solicitada como (-5 / 4π ^ 2)

Answer 3

sepárelos con el signo ‘+’. luego mantenga cosx / x ^ 3 término tal como está. luego integre el otro término, integrando dos o tres veces obtendrá el término igual que cos plazo que se cancelará. en la parte restante pon los límites y calcula.

Perdón por no mostrar compeletly.