¿Qué es un punto fijo en matemáticas?

Un punto fijo [matemática] x [/ matemática] de una función [matemática] f (.) [/ Matemática] es tal que [matemática] f (x) = x [/ matemática].

¿Cuál es el significado de esto? Para la función [matemática] f (.) [/ Matemática] que tiene un punto fijo [matemática] x_0 [/ matemática], uno tiene [matemática] x_0 = f (x_0) = f (f (x_0)) =… [/ matemáticas] obviamente.

Si [math] f (.) [/ Math] es una matriz que representa la probabilidad de transición de un sitio web a otro, entonces [math] x_0 [/ math] es un vector con cada elemento que representa la probabilidad de permanecer en ese sitio web en Su estado estable.

Si está encontrando raíces de una función diferenciable [matemática] f (.) [/ Matemática], entonces está buscando los puntos fijos de [matemática] xf (x) / f ^ {‘} (x) [/ matemática] , porque en los puntos fijos, [matemáticas] f (x) = f (x) / f ^ {‘} (x) = 0 [/ matemáticas]. Al iterar sobre la función anterior, uno eventualmente encontrará las raíces.

En la teoría de juegos, probar la existencia de un punto fijo también se puede usar para demostrar la existencia de un equilibrio de Nash. Por ejemplo, equilibrio de Nash – Wikipedia

Por lo general, cuando trabajas con números decimales, hay dos filosofías:

  • coma flotante: tiene un número fijo de cifras significativas (por ejemplo, tres), y no importa en qué escala exprese sus valores: 0.213e2, 2.13e1, 21.3e0, 213e-1, 2130e-2.
  • punto fijo: trabaja con un número fijo de decimales (por ejemplo, dos), y la precisión de su resultado se ve afectada por la escala: 2.13e1, pero 0.21e2, y 21.30e0.

¿Cual es mejor? Depende de lo que hagas. La física usualmente usa punto flotante, mientras que la economía usualmente usa punto fijo.

Para una función f de A a B, un punto fijo es un elemento x de la intersección entre A y B de modo que f (x) = x.