Una matriz nilpotente [matemática] n \ veces n [/ matemática] [matemática] A [/ matemática] es una matriz que satisface [matemática] A ^ r = 0 [/ matemática] para algún entero positivo [matemática] r [/ matemática] .
Claramente, si [math] A ^ n = 0 [/ math], entonces [math] A [/ math] es nilpotente por definición. Ahora demostramos lo contrario, es decir, si la matriz [math] n \ times n [/ math] [math] A [/ math] es nilpotente, entonces [math] A ^ n = 0 [/ math].
Si [math] A ^ r = 0 [/ math] para algún número entero [math] r [/ math], entonces obviamente [math] A ^ s = 0 [/ math] para todos los enteros [math] s> r [/ matemáticas] también. Entonces, [math] m [/ math] sea el número entero positivo más pequeño tal que [math] A ^ m = 0 [/ math].
EDITAR: Prueba de Meni Rosenfeld – Sea [math] \ lambda [/ math] cualquier valor propio de [math] A [/ math] tal que [math] Ax = \ lambda x [/ math], [math] x \ ne 0 [/ matemáticas]. Entonces [matemáticas] A ^ mx = \ lambda ^ mx [/ matemáticas]. Pero [matemáticas] A ^ m = 0 [/ matemáticas], entonces [matemáticas] \ lambda = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, cada valor propio de [math] A [/ math] es [math] 0 [/ math], por lo que el polinomio característico de [math] A [/ math] es [math] x ^ n [/ math]. Según el teorema de Cayley-Hamilton, [matemática] A ^ n = 0 [/ matemática], según sea necesario.
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EDITAR: Mi prueba. Si [math] m \ leq n [/ math] entonces hemos terminado. Supongamos que [matemáticas] m> n [/ matemáticas] y supongamos que [matemáticas] A ^ m = 0 [/ matemáticas] pero [matemáticas] A ^ n \ ne 0 [/ matemáticas], por contradicción. Como [math] A ^ n \ ne 0 [/ math], [math] A ^ n [/ math] tiene un valor propio distinto de cero [math] \ lambda [/ math] tal que [math] A ^ nx = \ lambda x [/matemáticas]. Al multiplicar por [math] A ^ {mn} [/ math], tenemos [math] \ lambda (A ^ {mn} x) = 0 [/ math]. Como [math] \ lambda \ ne 0 [/ math], [math] A ^ {mn} x = 0 [/ math]. Si [math] mn \ leq n [/ math], obtenemos una contradicción, porque entonces [math] A ^ n = 0 [/ math] después de todo. Si [math] mn> n [/ math], repetimos este argumento suficientes veces para obtener que [math] A ^ {m-kn} = 0 [/ math], donde [math] 0 <m-kn \ leq n [/matemáticas]. Esto nuevamente implica que [matemáticas] A ^ n = 0 [/ matemáticas], lo cual es una contradicción. Por lo tanto, [math] m \ leq n [/ math] después de todo, entonces [math] A ^ n = 0 [/ math] debe ser verdadero.