¿Cuál es la secuencia de clase ideal en matemáticas después del pre-cálculo? Educación te da un futuro mejor

No hay una secuencia ideal, porque diferentes personas necesitan diferentes áreas de matemáticas para lo que harán más adelante. Además, después del cálculo, los cursos de matemáticas se vuelven más una red que una vía férrea, y de nuevo, uno toma lo que necesita o quiere tomar, sujeto a conocer el material previo necesario.

En su mayoría, después del cálculo previo, uno toma Cálculo I y luego Cálculo II, siendo esta la “puerta de entrada” a las matemáticas superiores, por así decirlo, y por una buena razón: la mayoría de las matemáticas avanzadas requieren una comprensión profunda del cálculo. Sin embargo, no todo lo hace, al menos no de inmediato. Por ejemplo, es posible enseñar un curso introductorio en álgebra abstracta, álgebra lineal, matemática discreta o teoría de números sin usar cálculo.

El cálculo I se trata principalmente de laderas locales de funciones. Para una línea, uno puede encontrar la pendiente usando una fórmula como [math] \ frac {f (b) -f (a)} {ba} [/ math]. Esto no es satisfactorio para otras funciones (aunque esto da un tipo de pendiente, pero esa pendiente es una pendiente promedio durante un intervalo, no la pendiente en un punto). En cambio, lo que se puede hacer es dejar que [math] b [/ math] se acerque a [math] a [/ math], y ver qué [math] \ frac {f (b) -f (a)} {ba } [/ math] enfoques. Esto obtendría la pendiente local de [math] f (x) [/ math] en [math] x = a [/ math]. También se puede considerar la función de “pendiente local”; es decir, el valor de esta función en cualquier [matemática] x = a [/ matemática] es la pendiente local de [matemática] f (x) [/ matemática] en el mismo punto [matemática] x = a [/ matemática]. Esta función de “pendiente local” se denomina derivada (de [math] f (x) [/ math], en este caso). El cálculo I cubre las propiedades, el comportamiento, el cálculo (y así sucesivamente) de los derivados.
El cálculo II trata sobre áreas debajo de las curvas. El enfoque habitual es dividir el área dibujando líneas verticales, dividiéndola en tiras verticales. Cada tira vertical es casi un rectángulo, por lo que se puede aproximar multiplicando su ancho por su altura. Si la función es [matemática] f (x) [/ matemática], entonces, para una tira cerca de [matemática] x = a [/ matemática], la altura es aproximadamente [matemática] f (a) [/ matemática]. Cuanto más pequeños son los anchos, mejor es la aproximación. Por lo tanto, normalmente se habla de [matemáticas] \ int \ límites _ {x = p} ^ {q} \ left (f (x) \ right) dx [/ math], que significa dividir el área debajo de [matemáticas] f (x) [/ math] y entre la línea vertical [math] x = p [/ math] y [math] x = q [/ math], en un montón de piezas de [math] dx [/ math] ancho, agregue hacia arriba en las áreas [math] f (x) dx [/ math], y encuentre lo que las sumas se aproximan a medida que [math] dx [/ math] se vuelve pequeño. Esto se llama integral. También hay muchas cosas que debes saber sobre esto. Están cubiertos en Cálculo II.

Después de los cursos de cálculo, las cosas comienzan a ramificarse. Para algunos campos de estudio, la secuencia puede terminar aquí. Sin embargo, la mayoría de los campos técnicos de estudio necesitan más matemáticas. Las posibilidades incluyen:

Álgebra lineal

El álgebra lineal se trata de funciones lineales desde varias variables a varias variables, aunque “lineal” en este contexto también significa que el coeficiente “constante” es cero. Resulta que solo se requieren muchos números finitos para describir una función tan lineal. Por ejemplo, una función lineal de las variables [matemáticas] 3 [/ matemáticas] (por ejemplo, [matemáticas] x, y, z [/ matemáticas]) a las variables [matemáticas] 2 [/ matemáticas] (por ejemplo, [matemáticas] u, v [/ math]) se puede expresar como solo [math] 6 [/ math] números: [math] u [/ math] y [math] v [/ math] cuando [math] \ left (x, y, z \ right) = \ left (1, 0, 0 \ right) [/ math], [math] u [/ math] y [math] v [/ math] cuando [math] \ left (x, y , z \ right) = \ left (0, 1, 0 \ right) [/ math], y [math] u [/ math] y [math] v [/ math] cuando [math] \ left (x , y, z \ right) = \ left (0, 0, 1 \ right) [/ math]. Si uno obtiene estos números, generalmente los coloca en una cuadrícula dimensional [matemática] 2 [/ matemática] llamada matriz. Las preguntas sobre estas funciones lineales, o sobre matrices, pertenecen al álgebra lineal.

Ecuaciones diferenciales

Las ecuaciones diferenciales se refieren a ecuaciones cuyas “variables” son funciones en sí mismas, y las “operaciones” usan derivadas. Por lo tanto, al resolver tal ecuación, uno tiene como objetivo deshacerse de todos los símbolos “derivados”. A veces, esto no se puede hacer exactamente, pero en muchos casos de interés práctico, sí se puede. También hay formas de obtener soluciones aproximadas. Muchos fenómenos continuos pueden describirse mediante ecuaciones diferenciales. Los cursos de ecuaciones diferenciales se refieren a ambos.

Cálculo multivariable

Esto es, como su nombre lo indica, cálculo en múltiples variables. Ya no se puede hablar solo de la derivada de una función, porque pequeños cambios en diferentes direcciones producen pequeños cambios diferentes en la función (incluso si uno se divide por el tamaño del cambio en la “entrada”, como lo hace cuando se calcula derivados). Por lo tanto, se habla de derivadas parciales, que son derivadas cuando solo cambia una variable y el resto se mantiene constante. Resulta que esto es (generalmente) suficiente para obtener la derivada en cualquier dirección. Las integrales también se ven afectadas; se puede hablar sobre una integral de una función sobre una curva, o incluso sobre una región bidimensional, o sobre una superficie de dos dimensiones en un espacio tridimensional, o incluso sobre objetos de dimensiones superiores. Estas derivadas e integrales son lo que cubre el cálculo multivariable.

También existen otros cursos de matemáticas en este nivel.

Probabilidad

En su forma más básica, la probabilidad se refiere a la probabilidad de que algo sea. Cuando el “algo” es un número, entonces hay otras preguntas: “¿qué obtendrá uno en promedio?”, “¿Qué tan probable es este intervalo?”, Y así sucesivamente. Un curso de probabilidad puede requerir cálculo, porque una gran parte de la probabilidad se trata de distribuciones continuas. Por ejemplo, elegir un número aleatorio entre [matemáticas] 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] 1 [/ matemáticas] es elegir un número de una distribución continua. Las cosas se vuelven más interesantes cuando uno quiere ponderar ciertos números para ser más propensos que otros. Para tener sentido de cómo hacer eso, se necesita cálculo. Sin embargo, si uno se limita a hablar solo de distribuciones discretas (por ejemplo, seleccionando solo enteros), puede evitar temporalmente el uso de cálculo.

Estadística

La estadística es una aplicación de probabilidad que consiste en detectar patrones, verificar si un patrón es real y hacer predicciones basadas en patrones. Verificar si realmente existe un patrón no es una pregunta trivial, especialmente porque las observaciones tomadas podrían, por casualidad, estar un poco fuera de lo que se espera que sean. Por ejemplo, 100 lanzamientos de una moneda justa podrían dar 45 o 55 caras. ¿Cuánto es demasiado? Normalmente se supone que el patrón no está allí (“hipótesis nula”), y se calcula un número que representa la fuerza de cualquier patrón que se esté tratando de verificar. Entonces, uno puede encontrar la probabilidad de obtener un resultado más convincente (sin embargo, que se define en el particular) que el realmente obtenido. El resultado es una medida universal de la fuerza de la evidencia, en una escala [matemática] 0 [/ matemática] a [matemática] 1 [/ matemática], siendo [matemática] 0 [/ matemática la más fuerte. Las estadísticas son sobre esto y problemas relacionados.

Matemáticas discretas

La matemática discreta se trata de cosas cuyos valores pueden ser una cosa u otra, pero nada en el medio. Un tipo de objeto que estudia son las funciones cuyo dominio son los enteros. Mucha teoría sobre estas funciones refleja aproximadamente la teoría correspondiente en el cálculo. Una derivada se convierte en una diferencia: [matemáticas] f (x + 1) – f (x) [/ matemáticas]. Una integral se convierte en una suma. Otros temas ciertamente pueden estar en un curso de matemáticas discreto. Por ejemplo, contando. Por supuesto, cuando hay pocos objetos, eso es fácil. Pero, ¿y si hay millones, o incluso más? Entonces uno tiene que agruparlos eficientemente. La forma habitual de pensar es algo así como “Estas muchas formas de hacer una cosa, y para cada una de ellas, muchas formas de hacer la otra cosa, entonces uno debe multiplicarse para obtener la cantidad de maneras de hacer ambas cosas.

Después de tomar álgebra lineal, ecuaciones diferenciales y cálculo multivariable, se abren los cursos más avanzados de pregrado (o graduación inicial). ¿Qué son?

Análisis numérico
Análisis real
Ecuaciones diferenciales parciales
Topología
Análisis complejo
Análisis funcional
Geometría diferencial
…

Entonces, ¿cuál podría ser un orden razonable para tomar clases de matemáticas, suponiendo que desea tomar esas clases?

Cálculo I
Cálculo II
Álgebra lineal
Ecuaciones diferenciales
Cálculo multivariable

con probabilidad, estadística o matemática discreta (o las tres) en algún lugar del camino (posiblemente simultáneamente con uno de estos cursos). 3.-5. podría estar en un orden diferente. Si desea ir más allá de eso, las clases de nivel superior se pueden tomar en muchas, muchas órdenes, ya que hay pocas dependencias. (Por ejemplo, si desea tomar topología, le recomendamos que primero haga un análisis real).