Si tenemos trigonometría, ¿por qué no tenemos cuadrilateralmetría?

Answer 1

Impresionante pregunta! Quiéralo.

Aquí está mi presentimiento:

En triángulos (en geometría euclidiana), si se dan tres lados, se determinan los tres ángulos (debido a la congruencia de triángulos SSS de la geometría). Si se dan tres ángulos, las longitudes de los lados no se determinan, pero las relaciones entre ellos sí (debido a la Similitud del Triángulo AAA). Existen otras combinaciones simples de información sobre triángulos a partir de las cuales se puede deducir el resto.

Sin embargo, el caso de los cuadriláteros es mucho más complicado. ¿Qué sabe sobre un cuadrilátero cuyos cuatro lados miden 5 unidades de longitud cada uno? Sabemos que es un rombo, y conocemos algunos hechos que se derivan directamente de esto, pero no conocemos ninguna de sus medidas de ángulo. Es solo en casos extremos (forzando la definición de “cuadrilátero”) que la información de longitud lateral nos da información de medición de ángulo; y no conozco ningún caso en el que la información completa del ángulo sobre un cuadrilátero nos proporcione información de relación lateral. En ese sentido, la información que es útil para estudiar triángulos puede ser inadecuada cuando se estudian cuadriláteros.

Por otro lado, considere este problema de navegación cuadrilátero:

Agnes abandona su campamento (en el avión euclidiano) para una caminata. Camina 5 millas con una demora de 15 [matemáticas] ^ {\ circ} [/ matemáticas], luego 4 millas con una demora de 100 [matemáticas] ^ {\ circ} [/ matemáticas], y finalmente 3 millas con una demora de 250 [matemáticas] ^ {\ circ} [/ matemáticas]. ¿A qué distancia está ella de su campamento?

En este caso, he dado tres longitudes laterales y tres ángulos en relación con una referencia hacia el norte, y pregunté qué tan largo es el cuarto lado. Me parece que la mejor manera de abordar este problema del cuadrilátero es agregar una diagonal a este cuadrilátero (desde el campamento hasta el segundo punto de referencia de Agnes, después del segmento de 4 millas), dividiéndolo en dos triángulos. Al estudiar completamente cada triángulo, entenderemos el cuadrilátero.

En otras palabras: en su día libre, la trigonometría es cuadrilateralometría.

Answer 2

Gran pregunta! La respuesta corta es que tenemos cuadrilometría, simplemente la llamamos geometría.

En la antigüedad del desarrollo matemático, los cuadriláteros eran un juego de niños. ¿Quieres saber el área de un campo rectangular? Fácil. Propiedades de un paralelogramo? Sencillo.

Los círculos eran un asunto diferente. Muchas civilizaciones diferentes se aproximaron independientemente a pi, porque todas estaban interesadas en descubrir cómo medir los círculos.

La otra fuerza impulsora fue la astronomía. El mapeo de los cielos era una tarea difícil, y requería una comprensión de las esferas, las medidas de los ángulos, los acordes y más.

Los círculos se pueden analizar más fácilmente usando triángulos. Probablemente has visto el círculo de la unidad.

Los ángulos son solo dos partes de un triángulo.

Los acordes son solo la base de un triángulo con un punto en el centro del círculo.

Comprender esto condujo al advenimiento de las funciones sinusoidales, que es la relación entre un medio ángulo y un medio acorde. Las cosas se desarrollaron a partir de ahí.

Así que ahí está su respuesta: estudiamos trigonometría porque los triángulos, más que cualquier otro polígono, nos ofrecen enormes conocimientos y propiedades útiles sobre los círculos y todas las demás formas que son más difíciles de medir.

Answer 3

El ángulo se trata de la separación: toda la trigonometría generalmente se trata de dos líneas o rotación de cosas en alguna superficie 2D. En realidad, una extensión se trata de pasar de círculos a esferas, no de triángulos a cuadriláteros.

La extensión viene en varias formas, una simple es: “ángulos 2D sobre una esfera”. También conocido como trigonometría esférica:

Luego hay conceptos como “ángulos sólidos”.

Luego hay otras formas de reemplazar el “círculo” que define la trigonometría con algo como “hipérbola” y obtener la trigonometría hiperbólica.

Ahora triángulos hechos de aquellos en geometría hiperbólica;

Answer 4

La trigonometría, en el sentido de seno, coseno, tangente, etc., no se trata realmente de triángulos; simplemente se llama así porque los triángulos son formas muy simples a las que se aplica. Pero la trigonometría se trata realmente de rotación o, en otros términos, los conceptos generales de longitud y ángulo. ¡En cierto sentido, se trata aún más de círculos que de triángulos! Pero en cualquier caso, no hay una necesidad fundamental de pensar en términos de triángulos para comprender el seno, el coseno, la tangente, etc., y en lo que respecta a las aplicaciones de estos, se pueden aplicar al estudio de todas las formas, no solo triángulos.

Answer 5

Si tiene un círculo con radio 1 y centro en el origen, entonces [math] \ cos \ theta [/ math] y [math] \ sin \ theta [/ math] son ​​simplemente [math] x [/ math] y [math] y [/ math] coordenadas del círculo en un ángulo dado desde el eje [math] x [/ math]. Dado que cada punto en el círculo está a una distancia de 1 desde el origen (por definición de lo que significa ser un círculo), y la distancia a [matemáticas] y – [/ matemáticas] y [matemáticas] x – [/ matemáticas ] los ejes son las coordenadas [matemática] x – [/ matemática] e [matemática] y – [/ matemática], respectivamente, las tres longitudes forman un triángulo. Además, dado que los ejes son perpendiculares, es un triángulo rectángulo, con hipotenusa 1, y patas con longitud [matemática] \ cos \ theta [/ matemática] y [matemática] \ sin \ theta [/ matemática]. Esto significa que el Teorema de Pitágoras es válido, por lo que [matemática] \ cos ^ 2 \ theta + \ sin ^ 2 \ theta = 1 [/ matemática], y el resto de la trigonometría es una consecuencia de esto. La trigonometría se trata fundamentalmente de determinar las coordenadas de un punto en un círculo, pero sucede que se puede dibujar un triángulo para visualizar toda la idea y motivar el uso del Teorema de Pitágoras.

Answer 6

Cada polígono es la unión de finitos triángulos. Por lo tanto, si entendemos los triángulos, no necesitamos examinar formas más complicadas.

Si está buscando polígonos convexos, esto es solo una consecuencia del teorema de Carathéodory sobre cascos convexos. Los polígonos no convexos se pueden escribir como la unión de polígonos convexos, por lo que se aplica el mismo razonamiento.

Answer 7

La trigonometría se trata realmente de ángulos de asociación b / w y relación de lados que se pueden extender a los círculos, por lo que no se limita estrictamente a los triángulos.

Tanto los triángulos como los cuadriláteros son ejemplos de polígonos, y gran parte de la geometría euclidiana clásica, así como del campo moderno, como la teoría de grupos, los trata de forma separada.

Answer 8

Esto se debe a que todas las formas con más lados que un triángulo se pueden dividir en triángulos y, por lo tanto, estas formas se pueden describir con trigonometría. Por lo tanto, no sería necesario hacer un nuevo tipo de matemática para cada nuevo polígono.

Answer 9

Porque las figuras de cuatro lados son solo dos triángulos pegados.

Solo necesitamos trigonometría para poder modelar todos los polígonos.

Answer 10

No es un buen razonamiento, pero creo que es así porque cualquier polígono de n lados se puede dividir en un montón de triángulos. Individualmente, cada uno puede ser resuelto, y el trabajo total puede usarse para construir el n-gon. Puede ser un razonamiento tonto, pero parece funcionar bien, ya que dibujé algunos n-gons al azar y siempre encontré una división en triángulos. La complejidad suele ser fundamental aplicada mucho tiempo y esto parece tener sentido para mí.

No soy matemático. Esta fue mi intuición.

Answer 11

Probablemente porque no hay suficientes relaciones estáticas sobre los cuadriláteros como para crear funciones similares a sin, cos y tangente. ¡Los triángulos son especiales!