Dados los enteros a, byc de modo que [matemática] abc = 2015 ^ {2016} [/ matemática], ¿cuál es el resto de [matemática] 22a ^ 2 + 10b ^ 2 + 1890c ^ 2 [/ matemática] dividido por [matemáticas] 48 [/ matemáticas]?

Answer 1

Tenga en cuenta que [math] 3 \ nmid 2015 [/ math], y así [math] 3 \ nmid abc. [/ Math] y, por lo tanto, [math] 3 \ nmid a [/ math], [math] 3 \ nmid b [ /matemáticas] . Por lo tanto

[matemáticas] 22a ^ 2 + 10b ^ 2 +1890 c ^ 2 \ equiv a ^ 2 + b ^ 2 \ equiv 1 + 1 = 2 \ pmod {3} \ ldots (1) [/ matemáticas]

Nuevamente, dado que [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática], [matemática] c [/ matemática] son ​​todos impares , [matemática] a ^ 2 \ equiv b ^ 2 \ equiv c ^ 2 \ equiv 1 \ pmod {8} [/ math]. Por lo tanto, cada uno es congruente con [math] 1 [/ math] o [math] 9 \ bmod {16} [/ math], y así

[matemáticas] 22a ^ 2 + 10b ^ 2 +1890 c ^ 2 \ equiv 6 (a ^ 2-b ^ 2) + 2c ^ 2 \ equiv 2 \ pmod {16} \ ldots (2) [/ matemáticas]

Desde 3 y 16 son coprimos, de ecuaciones. [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2) [/ matemáticas], [matemáticas] 22a ^ 2 + 10b ^ 2 + 1890c ^ 2 \ equiv 2 \ pmod {48} [/ matemáticas]. El resto es [matemáticas] 2 [/ matemáticas]. [matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]