Prefiero esto diciendo que estoy asumiendo que la pregunta debe entenderse como “¿Puede la igualdad sostenerse para todo a, b para N arbitraria?” O alternativamente “Para todo a, b, N ¿existe un n tal asimiento de igualdad? ? ”. La respuesta es no, pero si hacemos algunas restricciones en by N para hacer que el problema sea sensible, llegaremos a un resultado.
Interpretemos la declaración de que cualquier N arbitrario sea para todo N (y tomemos N como un valor real ya que usaré el cierre bajo suma / multiplicación, pero por supuesto podemos refinar esto a cualquier conjunto con este tipo de estructura y conjuntos que tienen el cierre específico bajo esta suma / multiplicación particular, pero todo esto no es parte de ser preguntado, por lo que lo dejaré sin abordar).
Luego, dado un N arbitrario (o algunos dirían que queremos [matemática] N_0 [/ matemática] o algo por el estilo basado en la convención), queremos mostrar que existe al menos uno n tal que la igualdad se mantendrá. Primero, debemos restringir el dominio en N para que tenga sentido, es decir, N no puede ser -b, o el lado derecho de la igualdad no es sensible. Del mismo modo, asumiremos que b es distinto de cero ya que de lo contrario el lado izquierdo de la igualdad no es sensible.
Dados estos supuestos, podemos mostrar la existencia de una n muy simple usando álgebra. A saber, encontramos que n = [matemáticas] \ frac {a (b + N)} {b} – a [/ matemáticas] o alternativamente [matemáticas] n = \ frac {N} {b}. [/ math] Ahora, notemos algo. ny N se usan comúnmente en circunstancias en las que estamos tratando con números naturales. Impongamos esta condición. ¿Cuándo n será un número natural dado que N es un número natural? Como descubrimos, la elección de a es irrelevante. Por lo tanto, nuestra respuesta dependerá de by posiblemente de algunas propiedades específicas de N. Antes de eso, tengamos en cuenta que esta es una pregunta en la sección de álgebra, así que por convención “matemática” (aunque, por supuesto, hay mérito / aplicación detrás de ” CS ”), utilice los números naturales para NO incluir cero (es decir, 1,2,3 …)
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Entonces, ¿cuándo n será un número natural?
Claramente, si b es negativo, n no es un número natural, ya que sabemos que N es positivo. b no puede ser cero. ¿Qué pasa si b es positivo? Si b es irracional, entonces N / b es irracional y, por lo tanto, no es racional y, por lo tanto, no es integral y, por lo tanto, no es un número natural. Así que ahora necesitamos examinar qué sucede cuando b es un racional positivo. b puede expresarse únicamente en los términos más bajos como p / q para algunos números naturales py q. Por lo tanto, N / b puede reescribirse como qN / p, y este será un número natural si p | qN.
Entonces, tal vez ahora queremos preguntar algo, dado que N es un número natural, ¿cuál es la probabilidad de que n sea un número natural? Podemos responder esto muy fácilmente como cero, ya que el conjunto sobre el cual n es un número natural es un conjunto de medida cero (ya que es un subconjunto de los racionales positivos que es un subconjunto de los racionales que es una medida cero, y se puede mostrar fácilmente que un subconjunto de un conjunto de medidas cero es cero). En este último enunciado, se pueden expresar dudas sobre la medida cero, lo que implica probabilidad cero (es decir, no he demostrado que este conjunto sea pavimentable / tenga volumen cero), pero podemos evitar esto usando la integral de Lebesgue.
Una pregunta interesante sería encontrar todos los conjuntos X de manera que si N es un elemento de X, entonces también lo sea n.