Cómo probar [matemáticas] x \ ln (x + a) <e ^ x + \ sin x-1 [/ matemáticas], donde [matemáticas] a [/ matemáticas] [matemáticas] \ leq 0 [/ matemáticas]

Answer 1

Considere la función [math] f (x) = e ^ x \, + \, \ sin x \, – \, x \ log x \, – \, 1 [/ math]

La función de valor real se define solo para [math] x \,> \, 0. [/ Math]

Para [matemáticas] 0 \, <\, x \, \ le \, 1: [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ x \,> \, 1, \, \ qquad \ sin x \,> \, 0 \ qquad [/ matemáticas] y [matemáticas] \ qquad \ log x <\, 0 [/ matemáticas].

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] f (x) es positivo

[matemática] \ Rightarrow \ qquad e ^ x \, + \, \ sin x \, – \, x \ log x \, – \, 1 \,> \, 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad x \ log x \, <\, e ^ x \, + \, \ sin x \, – \, 1 [/ math]

Para [matemáticas] x \,> \, 1: [/ matemáticas]

[matemáticas] f ‘(x) = e ^ x \, + \, \ cos x \, – \, \ log x \, – \, 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] e ^ 1 \, – \, \ log 1 \, – \, 1 \, = \, 2.718 – 0 – 1 \,> \, 1 \, [/ matemáticas] y [matemáticas] e ^ x [ / math] aumenta más rápido que [math] \ log x [/ math] a medida que x aumenta.

Además, [matemáticas] -1 \, \ le \, \ cos x \, \ le \, 1 \ qquad para \ qquad \ forall \, x [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad e ^ x \, + \, \ cos x \, – \, \ log x \, – \, 1 \,> \, 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad f ‘(x) \,> \, 0 [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] f ‘(x) está aumentando estrictamente

Hemos demostrado anteriormente que f (x) es positivo para todo x hasta 1 y que f ‘(x) aumenta estrictamente para [matemática] x \,> \, 1 [/ matemática]

[math] \ Rightarrow \ qquad [/ math] f (x) es positivo para todas las x.

[math] \ Rightarrow \ qquad e ^ x \, + \, \ sin x \, – \, x \ log x \, – \, 1 \,> \, 0 [/ math] para todas las x.

[math] \ Rightarrow \ qquad x \ log x \, <\, e ^ x \, + \, \ sin x \, – \, 1 [/ math] para todas las x.

Si [math] a \, \ le \, 0, \ qquad entonces \ qquad x \ log (x \, + \, a) \, \ le \, x \ log x [/ math]

[math] \ Rightarrow \ qquad x \ log (x \, + \, a) \, <\, e ^ x \, + \, \ sin x \, – \, 1 [/ math] para todas las x.

Answer 2

Trazar ambas funciones. Verifique visualmente que la curva de la primera función esté siempre debajo de la curva de la segunda función. De lo contrario, hay regiones en la función x de x que la desigualdad no es verdadera.