Pilas algebraicas.
El área general de la geometría algebraica, siguiendo a Grothendieck, ha construido capas sucesivas de abstracciones sobre sus objetos fundamentales de interés. El área comienza tratando de comprender las propiedades de las soluciones de ecuaciones polinómicas. Para la mayoría de los mortales, incluso un solo polinomio en una variable con coeficientes constantes ya es algo bastante abstracto. Solo encontrar las raíces reales de algo como [matemáticas] x ^ 5 + 17x ^ 4 – 13x ^ 3-32x ^ 2 + 8x -123 = 0 [/ matemáticas] termina trayendo algunas matemáticas complejas e interesantes.
Ahora agregue múltiples variables y múltiples ecuaciones simultáneas. El conjunto de soluciones para algo como esto se llama variedad algebraica. Hay interesantes preguntas topológicas y geométricas sobre los puntos en una variedad algebraica (es decir, las soluciones al conjunto de polinomios) sobre los números complejos. Y hay interesantes preguntas aritméticas o teóricas de números sobre las soluciones sobre los números racionales.
El siguiente paso en la abstracción comienza por darse cuenta de que existen conexiones cercanas entre la teoría de los ideales primos en un anillo comunicativo (a partir del anillo de polinomios sobre un campo como los números complejos) y los puntos en una variedad algebraica. La generalización apropiada se llama esquema algebraico , que puede definirse vagamente como algo que localmente se parece al conjunto de ideales primarios en un anillo conmutativo arbitrario.
- ¿Es importante el álgebra para ser bueno en matemáticas?
- ¿Cuál será el valor de: [matemáticas] a ^ 2 + 2b ^ 2 + 3ab + ac [/ matemáticas] si [matemáticas] \ sen x [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sen y [/ matemáticas] son las raíces de la ecuación: [matemática] a \ sin ^ 2m + b \ sin m + c = 0 [/ matemática] (m está en grados) y [matemática] \ sen x + 2 \ sin y = 1? [/ matemática]
- ¿Cuáles son algunos trabajos recientes de matemática interesantes que serían accesibles para un estudiante de matemáticas?
- ¿Alguien quiere practicar el formateo de ‘matemáticas bonitas’ en una pregunta sin interés?
- ¿Es todo ser humano de alto funcionamiento intrínsecamente capaz de aprender cálculo?
Las pilas algebraicas son al menos dos niveles de abstracción más allá de los esquemas (con espacios algebraicos como intermediario). No estoy tratando de dar una descripción completa aquí. Pero el ejemplo motivador “concreto” proviene de tratar de comprender las soluciones de conjuntos de polinomios con coeficientes variables , lo que se traduce más o menos en la comprensión del comportamiento de las familias de variedades algebraicas.
Uf.