Cómo demostrar la continuidad de [math] \ bar z [/ math]

Answer 1

Supongo que [math] K_1 (0): = \ {z \ in \ mathbb {C}: \ vert z \ vert \ leq 1 \} [/ math]

Y tienes una función:

[matemáticas] f: K_1 (0) \ a \ mathbb {C} [/ matemáticas]

[matemáticas] z \ mapsto \ overline {z} [/ matemáticas]

Recuerde que topológicamente [math] \ mathbb {C} \ cong \ mathbb {R} ^ 2 [/ math]

Con el homeomorfismo

[matemáticas] \ Phi: \ mathbb {C} \ a \ mathbb {R} ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] a + bi \ mapsto (a, b) [/ matemáticas]

Definimos 2 funciones:

[matemáticas] \ varphi_1: K_1 (0) \ a \ mathbb {R} [/ matemáticas]

[math] a + bi \ mapsto a [/ math]

[matemáticas] \ varphi_2: K_1 (0) \ a \ mathbb {R} [/ matemáticas]

[matemáticas] a + bi \ mapsto -b [/ matemáticas]

Entonces, ahora necesitamos eso

[matemática] f [/ matemática] es continua exactamente cuando [matemática] f \ circ \ Phi [/ matemática] es continua

y que [math] f \ circ \ Phi = \ varphi_1 \ times \ varphi_2 [/ math]

Por la propiedad universal del producto se deduce que [math] f [/ math] es continuo exactamente cuando [math] \ varphi_1 [/ math] y [math] \ varphi_2 [/ math] lo son.

De su definición se deduce rápidamente que solo la preimagen de cada conjunto abierto de base debe abrirse por definición de topología.

Así que tome la preimagen de un intervalo abierto en [math] \ mathbb {R} [/ math] y asegúrese de que contenga una bola abierta en [math] K_1 (0) [/ math] para ambos [math] \ varphi_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ varphi_2. [/ matemáticas]

Answer 2

Como un mapa de espacios vectoriales reales [math] \ mathbb {R} ^ 2 \ rightarrow \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] es lineal. Los mapas lineales de espacios de vectores reales dimensionales finitos son continuos.

Aunque un argumento directo como se muestra a continuación puede ser preferible, porque la situación es muy simple.

Answer 3

Suponiendo que [matemática] K_1 [/ matemática] es el algebraico [matemática] K_1 [/ matemática] no topológica [matemática] K ^ 1 [/ matemática], esto podría llevar a reflexionar mucho sobre cómo [matemática] K_1 (R ) = GL (R) / [GL (R), GL (R)] [/ math] y lo que eso significa para nosotros, pero es absolutamente innecesario siempre que la función de identidad sea continua y sepamos sobre la continuidad de funciones complejas .

La concatenación de funciones continuas es continua según su definición de continuo.

[math] g: \ mathbb C \ mapsto \ mathbb C: [/ math] [math] g (z) = \ bar z [/ math] es continuo.

[matemática] h: K_1 (0) \ mapsto \ mathbb C: [/ matemática] [matemática] h ([/ matemática] [matemática] z) = z [/ matemática] es continua.

Entonces g · h también será continuo.

Answer 4

Considere abrir las bolas B (z, r) alrededor de cada punto z del plano complejo y r> 0. Esto forma una topología en el plano complejo y es una base para la topología habitual de conjuntos abiertos en el plano complejo.

Elija z = x + iy en alguna B abierta (z0, r). Entonces, el mapa inverso en z se correlacionaría con un punto w = x-iy y si | z-z0 |

Answer 5

Debe quedar claro que para cada conjunto abierto [math] S \ subset \ mathbb C [/ math] el conjunto “conjugado” definido por [math] \ overline S: = \ {z | \ overline z \ en S \} [/ math] también está abierto.