Cómo probar o refutar que [math] n! [/ Math] nunca puede ser un cuadrado perfecto para [math] n> 1 [/ math]

Answer 1

Siempre que [math] x [/ math] sea un cuadrado perfecto, es decir. [matemáticas] x = y² [/ matemáticas], todos sus factores primos deben estar emparejados

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Cuando [matemáticas] n ≠ 0,1 [/ matemáticas]

Considere [math] n [/ math] cuyo factorial nos interesa, y [math] p [/ math] que es el primo mayor menor o igual que [math] n [/ math]

[matemáticas] n \ in \ mathbb {Z ^ +} [/ matemáticas]

[matemática] p \ en [/ matemática] Número primo (último antes de [matemática] n [/ matemática])

* Según el Postulado de Bertrand, [matemática] p [/ matemática] no puede tener un par ya que su múltiplo ([matemática] kp [/ matemática]) no puede estar entre [matemática] p [/ matemática] y [matemática] n [/ matemáticas]

Por lo tanto, [math] n! [/ Math] no puede ser un cuadrado perfecto para [math] n ≠ 0,1 [/ math]

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* POSTULADO DE BERTRAND

Establece que hay al menos 1 primo entre [matemática] m [/ matemática] y [matemática] 2m [/ matemática]

Entonces, si [math] p [/ math] tiene un par [math] kp [/ math] ([math] <n [/ math]) entonces [math] p [/ math] no puede ser el último primo. al menos 1 primo entre [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] 2p [/ matemáticas] o, de hecho, entre [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] kp [/ matemáticas]

Answer 2

Considere n! = N (n-1)… .3.2.1

deja n! = p ^ 2

Claramente, p es un número compuesto con p = 2 ^ a * 3 ^ b * 5 ^ c….

Deje que el factor primo más alto sea y.

El postulado de Bertand dice que existe al menos un primo entre q y 2q donde q es un número primo (postulado de Bertrand – Wikipedia)

En p ^ 2 nuevamente habrá un factor de y que debería provenir de algún múltiplo de y. Pero luego existe otro número primo z> y contenido en n! haciendo p ^ 2 no un cuadrado perfecto.

Por lo tanto, no existe ‘n’ tal que n! Es un cuadrado perfecto.

EDITAR: excepto n = 0,1

Answer 3

Tenemos que probar o refutar esto:

[matemáticas] n! = k ^ 2 [/ matemáticas]

Es obvio que [math] n! [/ Math] es mayor que [math] k [/ math].

Ahora,

Suponga que hay objetos [math] n [/ math], y exactamente [math] k [/ math] de ellos son idénticos. Entonces, el número total de formas en que podemos organizarlos en una fila es:

[matemáticas] n! / k! [/ matemáticas]

Lo que siempre será un número entero. Esto implica que

[matemáticas] n!> k! [/ matemáticas]

Si podemos demostrar que [matemáticas] k!> K ^ 2 [/ matemáticas]

¡Entonces habremos demostrado que [matemáticas] n! [/ math] no puede ser un cuadrado perfecto.

Ahora, [matemáticas] k! = K (k-1)! [/ Matemáticas]

Y [matemáticas] k ^ 2 = k * k [/ matemáticas]

¡Entonces solo tenemos que comparar [matemáticas] (k-1)! [/ math] y [math] k [/ math]

¡Ahora, tome dos términos de [matemáticas] (k-1)!: [/ Matemáticas]

[matemáticas] (k-1) (k-2) [/ matemáticas]

Este es un paso válido para [matemáticas] k> 2 [/ matemáticas]

Ahora, este producto será igual a:

[matemáticas] k ^ 2-3k + 2 [/ matemáticas]

Ahora, esto siempre será mayor que [matemáticas] k [/ matemáticas], cuando [matemáticas] k [/ matemáticas] es mayor que [matemáticas] 3 [/ matemáticas]

¡Así que hemos demostrado que [matemáticas] n! [/ math] no es igual a [math] k ^ 2, [/ math] cuando [math] n [/ math] es mayor que 3.

Ahora, tenemos que verificar [matemáticas] 3,2,1,0 [/ matemáticas] de las cuales solo [matemáticas] n = 1,2 [/ matemáticas] son ​​verdaderas.

Entonces, las únicas soluciones son [matemáticas] n = 0,1 [/ matemáticas]

Esta prueba es un poco larga, sin embargo, hubo muchas respuestas utilizando el postulado de Bertrand, por lo que esta respuesta tenía que ser diferente.

Espero que esto haya ayudado!