A2A
[matemática] (- 1) ^ \ sqrt {-3} [/ matemática] es, básicamente, un número muy indefinido
Lo sabemos
[math] \ forall k \ in \ mathbb Z, (-1) = e ^ {i \ pi + 2k \ pi} [/ math]
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También podemos escribir eso
[math] \ forall m \ in \ mathbb Z, \ sqrt {-3} = (3e ^ {i \ pi + 2m \ pi}) ^ \ frac {1} {2} = 3 ^ \ frac {1} { 2} e ^ {i \ frac {\ pi} {2} + m \ pi} = 3 ^ \ frac {1} {2} (\ cos (\ frac {\ pi} {2} + m \ pi) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2} + m \ pi) [/ math]
De eso, obtenemos
[matemáticas] \ begin {align} \ forall (k, m) \ in \ mathbb Z ^ 2, (-1) ^ \ sqrt {-3} & = (e ^ {i \ pi + 2k \ pi}) ^ {3 ^ \ frac {1} {2} e ^ {i \ pi {2} + k \ pi}} \\ & = e ^ {(i \ pi + 2k \ pi) (\ sqrt {3} (\ cos (\ frac {\ pi} {2} + m \ pi) + i \ sin (\ frac {\ pi} {2} + m \ pi))} \ end {align} [/ math]
Y lamentablemente, esto no va a ser mucho más simple que eso. Obviamente, también podría decir que solo está interesado en la rama principal del resultado (donde [math] k = m = 0 [/ math])
Entonces
[matemáticas] \ sqrt {-3} = \ sqrt {3} e ^ {i \ frac {\ pi} {2}} = i \ sqrt {3} [/ matemáticas]
Y entonces
[matemáticas] (- 1) ^ \ sqrt {-3} = e ^ {(i \ pi) (i \ sqrt {3})} = e ^ {- \ sqrt {3} \ pi} [/ matemáticas]
Curiosamente, este argumento principal es un número real positivo.