¿En qué orden debo aprender cálculo?

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Debe aprenderlo en el orden que proporciona el libro, suponiendo que tenga un buen libro. Stewart Calculus Early Transcendentals es un excelente libro. Supongo que sabes álgebra, trigonometría, logaritmos y exponenciales lo suficientemente bien.

Primero debe comenzar aprendiendo qué funciones son (así como algunas de sus propiedades). Luego debe pasar a los límites (unilaterales y bilaterales) de las funciones y la continuidad de las funciones. Entonces estará listo para el concepto de diferenciación, que se centra en un límite especial llamado derivada. Una vez que tenga ese concepto, puede pasar a aprender reglas generales para la diferenciación (suma, producto, cociente, poder y reglas de cadena), tanto explícitas como implícitas. En el camino, puede aprender cómo aplicar derivados a varios problemas del mundo real, incluida la optimización (una de sus aplicaciones más potentes).

Una vez que haya dominado la diferenciación, puede cambiar su enfoque al concepto de integrales de Riemann y al teorema fundamental del cálculo que relaciona las tasas de cambios (derivadas) con las acumulaciones (integrales) para funciones de una sola variable a lo largo de una línea plana. A partir de ahí, puede aprender varios métodos de integración (aplicables a diferentes tipos de funciones), así como algunas aplicaciones de integrales. Se pueden usar para probar muchas de las fórmulas que encuentras en geometría, como el volumen de un toro o una esfera.

Una vez que haya dominado tanto la diferenciación como la integración, puede ir a cualquier parte desde aquí. Voy a enumerar algunos:

1. Ecuaciones diferenciales ordinarias: puede aprender a resolver ciertos tipos de ecuaciones diferenciales ordinarias. Sin embargo, se recomienda que continúe aprendiendo cálculo multivariable al mismo tiempo, para que también pueda aprender cómo resolver EDO exactas.
2. Cálculo multivariable: esta es una versión más generalizada del cálculo que se ocupa de las funciones de varias variables en lugar de solo una variable. Aprenderá sobre límites, continuidad, derivadas parciales, derivadas totales e integrales múltiples. Además de estos, también se enfoca en el cálculo importante de los campos vectoriales y ciertas propiedades de los campos vectoriales llamados gradiente, divergencia y curvatura de los campos vectoriales. Estos conceptos son centrales para otros teoremas que son tan importantes como el teorema fundamental del cálculo. Por ejemplo; el teorema fundamental para integrales de línea, el teorema de divergencia y el teorema de Stokes. Si decide aprender sobre las formas diferenciales (que es un campo completamente diferente por sí solo), aprenderá que todo esto, incluido el teorema fundamental del cálculo, son solo casos especiales del teorema de Stokes generalizado.
3. Series y secuencias infinitas: primero aprenderá qué son las secuencias infinitas y luego aprenderá sobre las series infinitas. Aprenderá sobre el concepto de convergencia y divergencia y utilizará los métodos de cálculo para probar si alguna serie dada es convergente o divergente. Luego pasará a ver cómo se pueden representar varias funciones como series de potencia (particularmente sus series Taylor y Maclaurin) y aprenderá sobre la desigualdad de Taylor. También podrá echar un vistazo al análisis complejo al aprender exactamente cómo se mantiene la identidad de Euler a través de la representación en serie de potencia de e ^ x, cos x y sen x.

Una vez que haya terminado con todo esto, puede aprender el cálculo nuevamente sobre una base más rigurosa. Se llama análisis. Puede aprender muchos más temas (no limitados al campo de las matemáticas) si conoce el cálculo.