Cómo encontrar las raíces de una ecuación cuadrática

Answer 1

La ecuación cuadrática general es

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ tag {1} [/ matemáticas]

Aquí [math] x [/ math] representa un desconocido, mientras que [math] a, b, [/ math] y [math] c [/ math] son ​​constantes con [math] a \ neq0 [/ math].

---

Método 1 :

Larry Hoehn en 1975, completar el cuadrado se puede lograr mediante una secuencia diferente que conduce a una secuencia más simple de términos intermedios: (1) multiplique cada lado por [matemáticas] 4a [/ matemáticas], (2) reorganice, (3) luego agregar [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas].

En otras palabras, la fórmula cuadrática se puede derivar de la siguiente manera:

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx + c & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac & = 0 \\ 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + b ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ (2ax + b) ^ 2 & = b ^ 2-4ac \\ 2ax + b & = \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \\ 2ax & = -b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Dividiendo por [matemáticas] 2a [/ matemáticas], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]

---

Método 2:

El matemático Sridhar Acharya también resolvió la ecuación.

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} ax ^ 2 + bx & = -c \\ x ^ 2 + \ frac bax & = – \ frac ca \\ x ^ 2 + \ frac bax + \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2 & = \ left (\ frac b {2a} \ right) ^ 2- \ frac ca \\\ left (x + \ frac ba \ right) ^ 2 & = \ frac {b ^ 2 } {4a ^ 2} – \ frac ca \\ x + \ frac ba & = \ pm \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac ca} \ end {align *} \ tag * { }[/matemáticas]

Aislando [math] x [/ math], obtenemos

[matemáticas] \ displaystyle x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ tag * {} [/ matemáticas]

---

Método 3:

[matemáticas] \ displaystyle ax ^ 2 + bx + c = 0 \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

vamos, las raíces de la cuadrática son [matemáticas] \ alpha [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta [/ matemáticas].

Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & (x- \ alpha) (x- \ beta) = 0 \\ & \ implica x ^ 2 – (\ alpha + \ beta) x + \ alpha \ beta = 0 \ end {alinear *} \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

Comparando ambas ecuaciones, [math] \ alpha + \ beta = -b / a [/ math] y [math] \ alpha \ beta = c / a [/ math]. Entonces,

[matemáticas] \ displaystyle \ alpha- \ beta = \ sqrt {\ frac {b ^ 2} {a ^ 2} – \ frac {4c} a} = \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} a \ etiqueta * {} [/ math]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ displaystyle \ begin {align *} & \ alpha = – \ frac b {2a} + \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \\ & \ beta = – \ frac b { 2a} – \ frac {\ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ end {align *} \ tag * {} [/ math]

Answer 2

• Lo más fácil, por lo más fácil, quiero decir LA manera más fácil de encontrar las raíces de una cuadrática es factorizar. Ex. [matemáticas] (x + a) (xb) [/ matemáticas]

Una vez que esté en esta etapa, trate cada factor como una ecuación …

[matemáticas] x + a = 0 \ implica x = -a \\ xb = 0 \ implica x = b \ etiqueta * {} [/ matemáticas]

• Use la fórmula cuadrática [math] \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ math] y suba los números
• También puede intentar completar el cuadrado, pero no se recomienda. Tarda demasiado y es propenso a errores

Answer 3

[matemáticas] \ begin {align} ax ^ 2 + bx + c & = 0 \\ \ displaystyle x ^ 2 + \ frac ba x + \ frac ca & = 0 \\ \ displaystyle \ left (x + \ frac b {2a } \ right) ^ 2 & \ displaystyle = \ frac {b ^ 2} {4a ^ 2} – \ frac ca \\ \; & \ displaystyle = \ frac {b ^ 2 – 4ac} {4a ^ 2} \\ x + \ dfrac b {2a} & = \ dfrac {\ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} \\ x & = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} \ end {align} \ tag * {} [/ math]

[math] \ textrm {Conecte los valores de a, byc para encontrar x.} \ tag * {} [/ math]

Answer 4

Las respuestas dadas ya son fantásticas guías paso a paso.

En caso de que desee ver un video para aprender y practicar por su cuenta, le recomiendo:

Answer 5

Deje que la ecuación cuadrática ax ^ 2 + bx + c = 0

Primero traiga el término no x al lado derecho

ax ^ 2 + bx = -c

Divide ambos lados con el coeficiente de x

x ^ 2 + bx / a = -c / a

x ^ 2 + 2 * b / 2a * (x) = – c / a

Ahora agregue b ^ 2 / 4a ^ 2 en ambos lados

x ^ 2 + 2 * b / 2a * (x) + b ^ 2 / 4a ^ 2 = b ^ 2 / 4a ^ 2 -c / a

(x + b / 2a) ^ 2 = (b ^ 2–4ac) / 4a ^ 2, entonces

x + b / 2a = +, – √ [b ^ 2–4ac) / 2a, por lo tanto

x = [-b + √ {b ^ 2–4ac}] / 2a, [-b-√ {b ^ 2–4ac}] / 2a

Los dos valores anteriores de x son las dos raíces de dicha ecuación cuadrática, y el proceso de evaluación de x se conoce como el proceso de Shridhar Acharya .

Answer 6

Los obtienes al “completar el cuadrado”, que es la identidad a continuación

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = a (x + \ dfrac b {2a}) ^ 2- \ dfrac {b ^ 2} {4a} + c [/ matemáticas]

Ahora debería poder equiparar esto a cero y dibujar [matemáticas] x [/ matemáticas]. Notarás que en algunos casos necesitas sacar la raíz cuadrada de un negativo, dando números complejos.

Answer 7

Usa la fórmula cuadrática

trataré de escribirlo

ax ^ 2 + bx + c = 0

calcular -b – raíz cuadrada (b ^ 2 – 4ac)

Luego divide por 2a

Luego repita para la 2da raíz

-b + raíz cuadrada (b ^ 2 – 4ac) dividir por 2a

Answer 8

hazlo igual a 0, factoriza, luego cada paréntesis es igual a 0, de modo que ese bit sea fácil

o usa la fórmula cuadrática