¿Qué es el cálculo y por qué tenemos que hacerlo?

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1.2 ¿Qué es el cálculo y por qué lo estudiamos?

El cálculo es el estudio de cómo cambian las cosas. Proporciona un marco para modelar sistemas en los que hay cambio y una forma de deducir las predicciones de dichos modelos.

He estado alrededor por un tiempo y sé cómo cambian las cosas, más o menos. ¿Qué puede agregar el cálculo a eso?

Estoy seguro de que sabe mucho sobre cómo cambian las cosas. Y tienes una noción cualitativa de cálculo. Por ejemplo, el concepto de velocidad de movimiento es una noción directamente del cálculo, aunque seguramente existió mucho antes que el cálculo y usted sabe mucho al respecto.

Entonces, ¿qué agrega el cálculo para mí?

Nos proporciona una manera de construir modelos cuantitativos de cambio relativamente simples y deducir sus consecuencias.

¿A que final?

Con esto, tiene la capacidad de encontrar los efectos de las condiciones cambiantes en el sistema que se está investigando. Al estudiarlos, puede aprender a controlar el sistema para que haga lo que quiere que haga. El cálculo, al brindarles a los ingenieros y a usted la capacidad de modelar y controlar sistemas, les otorga (y potencialmente a usted) un poder extraordinario sobre el mundo material.

El desarrollo del cálculo y sus aplicaciones a la física y la ingeniería es probablemente el factor más significativo en el desarrollo de la ciencia moderna más allá de donde estaba en los días de Arquímedes. Y esto fue responsable de la revolución industrial y de todo lo que le siguió, incluidos casi todos los avances importantes de los últimos siglos.

¿Estás tratando de afirmar que sabré lo suficiente sobre cálculo para modelar sistemas y deduciré lo suficiente para controlarlos?

Si me hubieras hecho esta pregunta hace diez años, te habría dicho que no. Ahora está dentro del alcance de la posibilidad, para algunos sistemas no triviales, con el uso de su computadora portátil o computadora de escritorio.

Bien, pero ¿cómo cambian los modelos de cálculo? ¿Cómo es el cálculo?

La idea fundamental del cálculo es estudiar el cambio mediante el estudio del cambio “instantáneo”, con lo que nos referimos a los cambios en pequeños intervalos de tiempo.

¿Y de qué sirve eso?

Resulta que tales cambios tienden a ser mucho más simples que los cambios en intervalos de tiempo finitos. Esto significa que son mucho más fáciles de modelar. De hecho, Newton inventó el cálculo y descubrió que la aceleración, lo que significa que el cambio de velocidad de los objetos podría ser modelado por sus leyes de movimiento relativamente simples.

¿Y entonces?

Esto nos deja con el problema de deducir información sobre el movimiento de los objetos a partir de información sobre su velocidad o aceleración. Y los detalles del cálculo implican las interrelaciones entre los conceptos ejemplificados por la velocidad y la aceleración y los representados por la posición.

Entonces, ¿qué se estudia al aprender sobre el cálculo?

Para empezar, debe tener un marco para describir nociones como la velocidad de posición y la aceleración.

El cálculo de una sola variable, que es con lo que comenzamos, puede manejar el movimiento de un objeto a lo largo de un camino fijo. El problema más general, cuando el movimiento puede tener lugar en una superficie o en el espacio, puede ser manejado por cálculo multivariable. Estudiamos este último tema encontrando trucos ingeniosos para usar las ideas y métodos unidimensionales para manejar los problemas más generales. Por lo tanto, el cálculo de una sola variable también es la clave del problema general.

Cuando tratamos con un objeto que se mueve a lo largo de un camino, su posición varía con el tiempo, podemos describir su posición en cualquier momento por un solo número, que puede ser la distancia en algunas unidades desde algún punto fijo en ese camino, llamado “origen” de nuestro sistema de coordenadas. (Agregamos un signo a esta distancia, que será negativo si el objeto está detrás del origen).

El movimiento del objeto se caracteriza por el conjunto de sus posiciones numéricas en puntos relevantes en el tiempo.

El conjunto de posiciones y tiempos que usamos para describir el movimiento es lo que llamamos una función. Y se utilizan funciones similares para describir las cantidades de interés en todos los sistemas a los que se aplica el cálculo.

El curso aquí comienza con una revisión de números y funciones y sus propiedades. Sin duda, está familiarizado con gran parte de esto, por lo que hemos intentado agregar material desconocido para mantener su atención mientras lo mira.

Me atascaré si leo sobre esas cosas. ¿Debo?

Me encantaría que lo vieras, ya que lo escribí, pero si prefieres no hacerlo, sin duda podrías saltarte y volver a consultarlo cuando o si necesitas hacerlo. Sin embargo, extrañará la nueva información, y hacerlo podría arruinarlo para siempre. (Aunque lo dudo)

¿Y qué viene después de los números y las funciones?

Un curso típico de cálculo cubre los siguientes temas:

1. Cómo encontrar el cambio instantáneo (llamado “derivado”) de varias funciones. (El proceso de hacerlo se llama “diferenciación” ).

2. Cómo usar derivados para resolver varios tipos de problemas.

3. Cómo volver de la derivada de una función a la función misma. (Este proceso se llama “integración” ).

4. Estudio de métodos detallados para integrar funciones de ciertos tipos.

5. Cómo usar la integración para resolver diversos problemas geométricos, como los cálculos de áreas y volúmenes de ciertas regiones.

Hay algunos otros temas estándar en dicho curso. Estos incluyen la descripción de funciones en términos de series de potencia, y el estudio de cuándo una serie infinita “converge” a un número.

Entonces, ¿dónde me empodera esto para hacer qué?

Realmente no lo hace. El problema es que tales cursos se diseñaron por primera vez hace siglos, y no tenían como objetivo el empoderamiento (en ese momento completamente imposible) sino familiarizar a su audiencia con ideas, conceptos y anotaciones que permitan comprender un trabajo más avanzado. Los matemáticos, científicos e ingenieros usan conceptos de cálculo en todo tipo de contextos y usan jerga y anotaciones que, sin su conocimiento sobre el cálculo, serían completamente inescrutables para usted. El estudio del cálculo normalmente tiene como objetivo brindarle la “sofisticación matemática” para relacionarse con un trabajo tan avanzado.

Entonces, ¿por qué estas tonterías sobre el empoderamiento?

Este curso intentará ser diferente y apuntar al empoderamiento, así como a los otros objetivos habituales. Puede que no tenga éxito, pero al menos lo intentará.

¿Y cómo intentará realizar esta maravilla?

Los cursos de cálculo tradicionales enfatizan los métodos algebraicos para realizar la diferenciación e integración. Describiremos dichos métodos, pero también mostraremos cómo puede realizar la diferenciación e integración (y también la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias) en una hoja de cálculo de computadora con una cantidad tolerable de esfuerzo. También suministraremos applets que hacen lo mismo automáticamente con aún menos esfuerzo. Con estos applets o una hoja de cálculo, puede aplicar las herramientas de cálculo con mayor facilidad y flexibilidad que antes. (Hay programas más avanzados que a menudo están disponibles, como MAPLE y Mathematica, que le permiten hacer mucho más con facilidad similar). Con ellos puede deducir las consecuencias de modelos de diversos tipos en una amplia variedad de contextos.

Además, pondremos mucho más énfasis en los sistemas de modelado. Con ideas sobre modelos y métodos para resolver las ecuaciones diferenciales a las que conducen, puede lograr el empoderamiento que hemos reclamado.

¿Y podré usar esto para algún fin que valga la pena?

De acuerdo, probablemente no. Pero podrías. Y también puede ser provocado a aprender más sobre los sistemas que desea estudiar o sobre matemáticas, para mejorar sus posibilidades de hacerlo. También es posible que pueda comprender las consecuencias probables de los modelos un poco mejor de lo que lo hace ahora.

Bueno, ¿qué hay en el capítulo introductorio sobre números?

Comenzamos con los números naturales (1,2,3, …,) y observamos cómo las operaciones de sustracción, división y toma de la raíz cuadrada nos llevan a extender nuestro sistema de números para incluir números negativos, fracciones (llamadas números racionales) y complejos números. También describimos expansiones decimales y examinamos la noción de contabilidad.

¿Y en el capítulo sobre funciones?

Comenzamos con una definición abstracta de una función (como un conjunto de pares de argumento-valor) y luego describimos las funciones estándar. Estos son los obtenidos al comenzar con la función de identidad (valor = argumento) y la función exponencial, y utilizando varias operaciones en ellos.

Operaciones, ¿qué operaciones?

Estos son suma, resta, multiplicación, división, sustitución e inversión.

Pero, ¿cuál es la función exponencial y qué son la sustitución y la inversión?

Aquí hay respuestas de una oración: si quieres saber más, ¡lee el capítulo!

La función exponencial se define misteriosamente usando cálculo: es la función que es su propia derivada, definida para tener el valor 1 en el argumento 0. Sin embargo, resulta ser algo que has visto antes. Y resulta tener una estrecha relación con la función seno de la trigonometría.

La sustitución de una función f en otra g produce una nueva función, la función definida para tener, en el argumento x, el valor de f en un argumento que es el valor de g en el argumento x. Esto es más simple de lo que parece.

Una inversa de una función es una función obtenida cambiando sus valores con sus argumentos. Por ejemplo, la función cuadrada, generalmente escrita como x

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tiene la función de raíz cuadrada como inversa.

Y …?

En las palabras inmortales del Padre William a su sobrino, según lo escrito por Lewis Carroll, que era matemático:

He respondido tres preguntas y eso es suficiente.

Dijo el sabio, no te des aires.

¿Crees que puedo escuchar todo el día a esas cosas?

¡Vete o te patearé abajo!