Muchos matemáticos y lógicos se preocupan mucho por los fundamentos de las matemáticas. Pero, ¿alguna vez se ha desechado algún campo de las matemáticas?

Answer 1

A muchas personas les importa porque es una fuente interesante de problemas hermosos.

Puede estar trabajando en esta área y ser un escéptico completo sobre muchos temas centrales: la existencia de conjuntos infinitos (o conjuntos de cardinalidad suficientemente absurda), la correspondencia entre ZFC y las matemáticas reales, o incluso la Ley del medio excluido – Wikipedia. Además, podría pensar que la lógica de primer orden (que es el modelo para un gran porcentaje del trabajo de fundamentos) es una descripción completamente inadecuada de la realidad matemática.

Pero las preguntas ciertamente tienen algún tipo de significado, y muchas de ellas están en el nivel ideal de dificultad: pruebas difíciles (pero no demasiado difíciles) de declaraciones cortas que brindan una nueva visión y conexiones sorprendentes.

La idea de que las matemáticas necesitan “fundamentos” proviene de una era diferente, en la que la gente estaba muy alarmada por el descubrimiento de la paradoja de Russell.

Answer 2

Estaba tratando de pensar cuando las matemáticas fueron desechadas por algo que podría llamarse fundamentos. Puedo pensar en uno bueno: el constructivismo. Debido a que hay una diferencia de filosofía, algunos matemáticos han descartado las matemáticas no constructivas, mientras que otros no. No obstante, las matemáticas constructivas y las no constructivas pertenecen a las matemáticas. Cualquier matemático puede entender y trabajar con cualquiera de los dos, aunque sigue siendo una preferencia estudiar uno u otro.

El principio básico del constructivismo es que no debe decirse que algo existe a menos que sepa cómo encontrarlo.

Por ejemplo, hay un teorema en matemáticas, el teorema del valor intermedio (IVT), que dice que si una función continua toma dos valores, entonces toma todos los valores entre esos dos valores.

Una prueba no constructiva podría seguir estas líneas: suponga que no adquiere un valor particular entre los dos valores, deriva una contradicción y concluye que tiene que asumir ese valor. Esta prueba no constructiva no te ayuda a encontrar dónde toma el valor intermedio.

Una prueba constructiva debería incluir un proceso para encontrar dónde la función adquiere el valor intermedio. El método de bisección haría eso.

Hay ciertas ventajas en un punto de vista constructivo. En matemática intuicionista, si una función se define en un intervalo abierto, entonces es continua en ese intervalo abierto. En matemática clásica, hay funciones discontinuas.

Entonces la respuesta a su pregunta es sí, la filosofía puede determinar las matemáticas.

Answer 3

Recuerdo vagamente una historia contada por mi profesor de análisis real en la escuela de posgrado. Dijo que alguien había inventado axiomas para un sistema de topología. El inventor fue lo suficientemente famoso como para que la gente comenzara a trabajar con estos axiomas. Entonces alguien descubrió que los axiomas eran inconsistentes, por lo tanto, inútiles.

Moraleja: los cimientos son importantes y debes ser consciente de ellos, pero no colgarlos.

PD. Una vez tuve un ingeniero que me reprendió: “Sé que Stevenson es matemático porque cree en cosas que no puede ver”. Si no puede verlo, necesita una forma de asegurarse de que esté allí.

Answer 4

Nada fue “desechado” nunca, porque las matemáticas no funcionan de esa manera.

Sin embargo, hay ramas de las matemáticas que llamaron mucho la atención y ahora no, particularmente en las matemáticas de “edad escolar”.

Tan recientemente como en la década de 1980, a los alumnos se les enseñó a calcular cosas como raíces cuadradas usando decimales. Hoy en día, las calculadoras hacen ese lado de las cosas, y son las cosas más complejas.

Solía ​​ser un arte hacer cosas como multiplicar números romanos. El sistema posicional lo volvió obsoleto, en la medida en que no conozco a nadie que haya intentado multiplicar XXIV por XXXIII de otra manera que no sea la conversión hacia y desde el decimal.

Answer 5

Puede interesarse independientemente en los fundamentos de las matemáticas, incluso si no desea revisar las prácticas de los propios matemáticos. Puede pensar que los matemáticos están haciendo un buen trabajo matemático, pero aún así quieren entender de qué se trata lo que hacen que sea una práctica matemática legítima.

Eso no quiere decir que no haya lógicos o filósofos de las matemáticas que quieran revisar las matemáticas en función de sus investigaciones sobre sus fundamentos. Pero el revisionismo no es esencial para el estudio de los fundamentos matemáticos.

Answer 6

Para ilustrar mi punto, déjame contarte la historia de Oliver Heaviside. Fue un físico y matemático autodidacta. Desarrolló usando la heurística su cálculo operacional en 1893. Es una forma de reducir problemas en ecuaciones diferenciales a problemas algebraicos. Durante años, los matemáticos no lo aceptaron porque no tenía una base rigurosa. No fue hasta 1929 cuando Bromwich lo relacionó con la transformación de Laplace. La matemática es verdad. Las ideas detrás de esto se remontan a Laplace en 1812. El problema es que los humanos olvidamos mucho. Los matemáticos son los guardianes y los buscadores de la verdad, y si no pueden entenderla, se pierde hasta otra generación. La importancia del rigor es que un argumento bien construido es verificable por muchos matemáticos. Cuando algo es cierto pero no se presenta rigurosamente, entonces no es matemática porque no se puede transmitir a otros matemáticos. Eso es lo que conocemos como ciencia, que proviene de scientia, que significa conocimiento. Sigue siendo útil pero no generalizable, que es lo que interesa a los matemáticos.

Answer 7

Ningún campo de las matemáticas, o cualquier otra cosa, es desechado. Incluso cuando el campo ya no sea popular, algunos lo estudiarán. Por ejemplo, encontrar el último dígito de Pi es un campo en sí mismo. Encontrar el primo más grande también es un campo en sí mismo. Hay muchas cosas como estas. Tienen poco o ningún valor práctico. Pero la gente los estudia de todos modos. Lo mismo es cierto para otros campos. Todavía estamos estudiando, por ejemplo, las diferentes formas en que podemos combinar 7 tonos musicales.

Answer 8

Por fundamentos, supongo que te refieres al teorema de incompletitud de Goedel, el axioma de elección y similares. La mayoría de los matemáticos que he conocido, tanto los puros como los aplicados, solo tienen un interés casual y divertido en este tipo de temas y los consideran irrelevantes para su trabajo.