¿Cuáles son algunos ejemplos fascinantes de funciones biyectivas entre [math] \ mathbb {R} [/ math] y el conjunto de potencia de [math] \ mathbb {N} [/ math]?

Answer 1

Es intuitivo, pero no completamente trivial para demostrar con precisión. Un enfoque sería el siguiente:

En primer lugar, hay una biyección entre el intervalo (0, 1) y [math] \ mathbb {R} [/ math], por ejemplo [math] \ tan (\ pi (x – \ frac {1} {2 }))[/matemáticas]. Por lo tanto, es suficiente para mostrar una biyección entre (0,1) y [matemáticas] 2 ^ {\ mathbb {N}}. [/ Matemáticas]

Para cada subconjunto de [math] \ mathbb {N} [/ math], construya una expansión binaria con un 1 en el lugar correspondiente si ese entero está en el conjunto, y 0 en caso contrario. Por ejemplo, {1, 2, 3,5} corresponde al número binario 0.11101

Sin embargo, hay una dificultad con el conjunto vacío y los dígitos que se repiten infinitamente: por ejemplo 0.01111 … = 0.1 en binario, por lo que es solo una biyección “en casi todas partes”. Hay una forma de evitar este problema, pero al menos esta construcción es buena suficiente para convencerme de que [math] \ mathbb {R} [/ math] y [math] 2 ^ {\ mathbb {N}} [/ math] tienen la misma cardinalidad.

Sin embargo, se necesita más trabajo para hacer de esto una prueba completa. Vi uno que hacía uso de números negativos, para distinguir decimales repetidos. Puedes buscarlo en google. El punto es que esta cuestión de cardinalidad se ha resuelto bastante en la teoría de conjuntos.