En mecánica cuántica, ¿cómo muestro que [matemáticas] \ dfrac {d} {dt} \ langle P_ {x} \ rangle = – \ langle \ dfrac {dV (x)} {dx} \ rangle [/ math], donde [matemáticas] P, V [/ matemáticas] tienen el significado habitual?

Answer 1

Esto es sencillo, el problema que desea resolver cae en una clase más amplia de problemas y generalmente se conoce como el Teorema de Ehrenfest que establece que

[matemáticas] \ frac {d} {dt} \ langle A \ rangle = \ frac {1} {i \ hbar} \ langle [A, H] \ rangle + \ langle \ frac {\ partial A} {\ partial t} \ rangle [/ math],

Donde [math] A [/ math] es su observable y [math] H [/ math] es el hamiltoniano del sistema, un problema general se resuelve aquí. [1]

Lo sorprendente no es que el valor esperado de un observable cuántico siga algo similar a la ley de Newton, sino que el teorema general en sí imita un teorema clásico llamado Teorema de Liouville que establece que para un observable clásico [matemáticas] f (q, p, t) [ /matemáticas]

[matemáticas] \ frac {df} {dt} = \ {f, H \} + \ frac {\ partial f} {\ partial t}, [/ math]

donde [math] \ {f, H \}, [/ math] es el clásico soporte de Poission. [2]

Esta relación cuántica [matemática] \ / [matemática] clásica es un principio muy profundo en física llamado principio de correspondencia , que establece aproximadamente que un sistema descrito por la mecánica cuántica debe reproducir la física clásica en el límite de los números cuánticos grandes .

Espero no haber ido demasiado lejos (pero de todos modos lo he hecho, ya que es un tema tan interesante), diré una última cosa, este principio de correspondencia y los dos teoremas anteriores nos dicen mucho más; que si tenemos un sistema clásico descrito por Hamiltonian podríamos, en principio, construir inmediatamente la teoría cuántica correspondiente reemplazando aproximadamente los corchetes de poción [math] \ {A, B \}, [/ math] con el conmutador habitual [math] [A, B]. [/ Math] Tales técnicas van bajo el paraguas de la cuantización canónica.

Espero que esto ayude.

Notas al pie

[1] Teorema de Ehrenfest – Wikipedia

[2] Teorema de Liouville (hamiltoniano) – Wikipedia