¿Cómo sabemos que el cálculo es correcto y funciona?

Answer 1

¿Cómo sabemos que el cálculo es correcto y funciona?

Déjame hacerte una pregunta muy similar: ¿cómo sabemos que hornear un pastel es correcto y funciona?

El cálculo es solo un conjunto de formalismos que resultan útiles. No son “correctos” o “no correctos”, son solo cosas que puede hacer para funcionar de una manera basada en principios.

Hay una variedad de generalizaciones: por analogía con la definición habitual de una derivada en el cálculo de una sola variable, podemos diferenciar cosas que normalmente no esperarías poder diferenciar, como los tipos en la teoría de tipos (ver, por ejemplo, El álgebra de Tipos de datos algebraicos, Parte 3), funciones con valores multivectoriales en álgebra geométrica (cálculo geométrico – Wikipedia), y así sucesivamente.

Estas no son cosas que pueden ser “correctas” o “no correctas”, o “funcionar” o “no funcionar” – una aplicación particular de cálculo a un problema particular puede ser una de esas cosas, pero el cálculo en sí mismo es solo un conjunto de operaciones.

Sabemos que esas operaciones tienen sentido y se comportan de la manera que queremos en las estructuras que nos interesan, porque las operaciones en el cálculo se definen rigurosamente en esas estructuras, al igual que cualquier otra operación en cualquier otra área de las matemáticas.

Answer 2

Odio dar respuestas a Wikipedia pero: Teorema fundamental del cálculo – Wikipedia

Hay un montón de pruebas allí.

No “sabemos” que “el cálculo es correcto”. Sin embargo, parece funcionar para las innumerables aplicaciones a las que se ha aplicado. Tan pronto como no funcione, estoy seguro de que alguien escribirá un documento para informarle al respecto.

Por cierto: ese párrafo se aplica a casi todos los conocimientos humanos. Todo conocimiento en última instancia se basa en suposiciones y pruebas. No hay prueba absoluta de nada. No existe la verdad absoluta. La prueba comienza con suposiciones y suposiciones. Las herramientas se basan en estas pruebas a través del uso real. Sabemos que funcionan porque cuando los usamos, funcionan. Cuando los supuestos se prueban falsos, o las herramientas no funcionan para algún problema, cambiamos todo en función del supuesto y limitamos el uso de la herramienta.

El cálculo, sus suposiciones y las herramientas construidas con su uso, han resistido durante siglos. Así es como sabemos que es correcto y funciona.

Answer 3

Es solo una suposición justa y segura, podemos aceptar. Creer en el cálculo no es esencial ni obligatorio, por supuesto.