Amitabha Tripathi ya dio una respuesta eficiente. En lugar de solo dar una prueba, intentaré explicar cómo resolví este problema, por ineficiente que haya sido 🙂
El primer patrón que viene a la mente es una factorización que todos aprendimos en la clase de álgebra, [matemáticas] a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas]. Entonces ya sabemos que [matemática] a ^ 3-b ^ 3 [/ matemática] tiene un factor de 10 de [matemática] a ^ 2 + ab + b ^ 2 [/ matemática]. La pregunta es dónde obtenemos los otros dos factores de 10.
META: Encuentre más factores de 10 en la ecuación [matemáticas] (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas] sabiendo que el segundo factor ya contiene un 10
No era obvio para mí de dónde vendrían otros factores de 10, así que especulemos y supongamos que obtenemos un factor de 10 de [math] (ab) [/ math]. Eso es equivalente a decir [matemáticas] a \ equiv b \ mod 10 [/ matemáticas]. Entonces, tal vez podamos intentar demostrarlo desde el supuesto [matemático] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ equiv 0 \ mod 10. [/ matemático] El siguiente paso es hacer algo de álgebra y ver qué podemos obtener de esto ecuación.
NUEVO OBJETIVO: Intentar probar [matemáticas] a \ equiv b \ mod 10 [/ matemáticas] a partir de la suposición [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ equiv 0 \ mod 10. [/ Matemáticas]
Es más fácil trabajar con números primos de módulo y luego usar el Teorema del resto chino para volver a un número compuesto. Así que trabajemos mod 2 y mod 5.
OBJETIVO 1: Mostrar [matemática] a \ equiv b \ mod 2 [/ matemática] a partir de la suposición [matemática] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ equiv 0 \ mod 2. [/ Matemática]
Una cosa que me gusta del mod 2 es que solo hay 2 elementos a tener en cuenta, 0 y 1, por lo que puede usar la fuerza bruta en todas las posibilidades para [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas]. Al marcar (0,0), (1,0), (0,1), (1,1), encontramos solo (0,0) trabajos. En otras palabras, [matemáticas] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 2 [/ matemáticas].
Noté que este es un resultado más fuerte que [math] a \ equiv b \ mod 2 [/ math], que es lo que originalmente estaba especulando. Dice que [matemáticas] a [/ matemáticas] y [matemáticas] b [/ matemáticas] son divisibles por 2. Y eso significa que [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 3 [/ matemáticas] son divisible por 8. Lo cual es justo lo que necesitamos mostrar [matemática] a ^ 3-b ^ 3 [/ matemática] es divisible por 1000 = 125 × 8.
En este punto, sé que estoy en el camino correcto. Si podemos mostrar [matemáticas] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas], entonces sabremos que [matemáticas] a ^ 3 [/ matemáticas] y [matemáticas] b ^ 3 [/ matemáticas] son divisibles por 125, y [matemática] a ^ 3-b ^ 3 [/ matemática] es divisible por 1000 = 125 × 8. Entonces, nuestro próximo objetivo es tratar de probar [matemáticas] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas].
NUEVO OBJETIVO: Intentar demostrar [matemáticas] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 10 [/ matemáticas] a partir de la suposición [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ equiv 0 \ mod 10. [/ Matemáticas]
OBJETIVO 2: Mostrar [matemática] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemática] a partir de la suposición [matemática] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ equiv 0 \ mod 5. [/ Matemática]
Considerar
[matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas]
Si queremos forzar esto, podríamos: solo hay 25 pares posibles de [matemáticas] a, b [/ matemáticas] para tener en cuenta. Sin embargo, como matemático teórico, la fuerza bruta es un poco ofensiva, ya que esconde lo que podrían ser estructuras interesantes o interesantes. Sin embargo, me gusta mirar algunos ejemplos para guiar mi intuición, así que intento [matemática] a = 1 [/ matemática] y varío b:
aba ^ 2 + ab + b ^ 2
———————-
1 0 1
1 1 3
1 2 2
1 3 3
1 4 1
La buena noticia es que [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ mod 5 [/ matemáticas] nunca es cero en ninguno de estos casos, por lo que mi conjetura es que [matemáticas] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 5 [ / matemáticas] todavía se ve bien. También noto que [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ mod 5 [/ matemáticas] toma valores duplicados de 1 y 3, y nunca es 0 o 4. He trabajado con ecuaciones cuadráticas en aritmética modular antes , así que esperaba ver este comportamiento. (Generalmente, una fórmula cuadrática solo tomará los valores [matemática] (p + 1) / 2 [/ matemática] p. Mi intuición para esto es que la cuadrática más simple, [matemática] x ^ 2 [/ matemática], adquiere el mismo valor para [matemática] x = n [/ matemática] y [matemática] x = -n [/ matemática], por lo que obtendrá valores duplicados la mitad del tiempo).
Recuerdo que completar el cuadrado funciona para resolver cuadráticos en aritmética modular, así que probémoslo.
SUB-SUBGOAL: Resuelve [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas] completando el cuadrado
[matemáticas] 0 = a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ equiv (a + Nb) ^ 2 + Mb ^ 2 \ mod 5 [/ matemáticas]
Rápidamente encuentro [matemática] N [/ matemática] para que coincida con el término [matemática] ab [/ matemática] (específicamente, necesito [matemática] 2N \ equiv 1 \ mod 5 [/ matemática]) y veo [matemática] N = 3 [/ matemáticas]. Y ahora tenemos
[matemáticas] 0 = a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ equiv (a + 3b) ^ 2 + 2b ^ 2 \ mod 5 [/ matemáticas]
El objetivo de completar el cuadrado es escribir la ecuación como [matemática] x ^ 2 \ equiv N \ mod 5 [/ matemática], así que tratemos de aislar los cuadrados en un lado de la ecuación:
[matemáticas] (a + 3b) ^ 2 + 2b ^ 2 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas]
[matemáticas] (a + 3b) ^ 2 \ equiv 3b ^ 2 \ mod 5 [/ matemáticas]
Nos gustaría poder dividir entre [matemáticas] b ^ 2 [/ matemáticas], pero debemos tener cuidado con la división entre 0, así que consideremos los dos casos por separado:
- [matemática] b \ not \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemática]: Entonces [matemática] b [/ matemática] tiene un inverso y podemos multiplicar ambos lados por [matemática] b ^ {- 2} [/ matemática]: [matemáticas] (ab ^ {- 1} +3) ^ 2 \ equiv 3 \ mod 5 [/ matemáticas]. No hay un cuadrado que haga 3 mod 5 (es decir, 3 no es un residuo cuadrático), lo cual es fácil de verificar con fuerza bruta. Por lo tanto, no hay soluciones en este caso.
- [matemática] b \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemática]: Entonces [matemática] a ^ 2 \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemática], entonces [matemática] a \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemática], que es lo que queremos
Ya hemos terminado con nuestro Subgoal 2: hemos demostrado que la única solución para [matemáticas] a ^ 2 + ab + b ^ 2 \ mod 5 [/ matemáticas] es [matemáticas] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 5. [/ matemáticas]
Combinando Subgoal 1 y Subgoal 2, hemos logrado nuestro objetivo final
[matemáticas] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 10 [/ matemáticas]
y entonces concluimos que [math] a ^ 3 \ equiv b ^ 3 \ equiv 0 \ mod 1000 [/ math] que muestra [math] a ^ 3-b ^ 3 [/ math] es divisible por 1000. QED.
Mirando hacia atrás, veo que mi idea original de usar la factorización [matemáticas] a ^ 3-b ^ 3 = (ab) (a ^ 2 + ab + b ^ 2) [/ matemáticas] no entró en juego. La idea clave fue cuando descubrí [matemáticas] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 2 [/ matemáticas] y me di cuenta de que resolvería el problema si [matemáticas] a \ equiv b \ equiv 0 \ mod 5 [/ matemáticas] también .