¿De qué sirve el cálculo de variables múltiples y cómo puedo aprenderlo?

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Suponiendo que ya sabe que en una sola variable (a) la diferenciación puede considerarse como encontrar la pendiente de una función, (b) que la integración puede considerarse como encontrar el área debajo de ella, y (c) que estas dos operaciones pueden considerarse como opuestos:

La diferenciación de dos variables corresponde a encontrar la pendiente de una superficie. Esto se puede extender a tantas variables como se desee, y de hecho, este es un enfoque comúnmente utilizado en el aprendizaje automático. Con él, se pueden resolver ecuaciones diferenciales parciales, lo cual es esencial, por ejemplo, para comprender la ecuación S en la mecánica cuántica.

La integración en más de una dimensión puede considerarse en dos dimensiones como encontrar el volumen debajo de una superficie, o como encontrar la masa de algún objeto (como un planeta) con una función de densidad. Donde hay simetría radial, es común transformarse en coordenadas polares, que es una de las razones por las que la trigonometría generalmente se estudia antes del cálculo.

Después de aprender el cálculo de una sola variable real (lo que describí muy brevemente en el primer párrafo), es común estudiar análisis real a nivel universitario. El cálculo vectorial (en tres dimensiones) puede estudiarse sin comprender aún rigurosamente el análisis, por lo que estos pueden estudiarse en paralelo. El análisis complejo y el álgebra lineal no son requisitos previos, pero definitivamente ayudarán.

La otra cosa que puedes hacer es usar una computadora para hacer trampa. El cálculo por definición es continuo, y las computadoras no son muy buenas para hacerlo de forma continua, ya que son discretas por naturaleza. Pero digamos que está modelando las ecuaciones de Lotka-Volterra (Wikipedia): tenga en cuenta los dos d / dt , luego podrá observar rápidamente que los nacimientos y las muertes no son eventos continuos, siempre que su unidad de tiempo sea lo suficientemente corta solo puede iterar. Una razón por la que es posible que desee hacer eso es que el cálculo es demasiado difícil de resolver, o incluso imposible (“sin solución analítica”), por lo que lo que desea hacer es aprender un poco sobre los métodos numéricos en este caso. Desafortunadamente, cuando haces trampa en matemáticas, aún necesitas saber por qué puedes hacerlo, pero si quieres convertirte en un científico, entonces tus modelos no serán necesariamente lo suficientemente simples como para usar solo el cálculo normal. Afortunadamente, si quieres convertirte en ingeniero, intentarás linealizar todo y fingir que el cálculo no existe, aunque lamentablemente si realmente estudias ingeniería en la universidad, alguien te hará hacer el trabajo de todos modos.

Por último, pero no menos importante, para aprender necesitas practicar. Por alguna razón, no tengo ningún problema en visualizar mentalmente el problema cuando hay múltiples variables siempre que no tengan nada que ver entre sí, el cálculo vectorial en el espacio tridimensional todavía me confunde, con div y curl y qué sucede cuando aplicarlos el uno al otro. Pero estoy más interesado en las matemáticas puras que en las matemáticas aplicadas, y en dejar que la computadora haga el trabajo por mí (es decir, la informática) más que las matemáticas per se.