¿Cómo encontrar el resto de [matemáticas] X ^ {10} [/ matemáticas] dividido entre [matemáticas] {(X + 1) ^ 3} [/ matemáticas]? ¿Hay una manera fácil, además de hacer la división?

Answer 1

Aviso: esta no es la forma más inteligente de encontrar el recordatorio, pero al menos funciona todo el tiempo.

El truco consiste en utilizar la división larga polinómica [1].

Primero, expanda [matemáticas] (X + 1) ^ {3} [/ matemáticas] a [matemáticas] X ^ {3} + 3X ^ {2} + 3X + 1: = D (X) [/ matemáticas].

Entonces:

[matemáticas] X ^ {10} = A_ {1} (X) D (X) + B_ {1} (X) [/ matemáticas]. Es fácil ver que [matemáticas] A_ {1} (X) = X ^ {7} [/ matemáticas]

A partir de ahí, obtienes: [matemáticas] B_ {1} (X) = X ^ {10} -X ^ {7} D (X) = – (3X ^ {9} + 3X ^ {8} + X ^ { 7}) [/ matemáticas]

Ahora, escriba [matemáticas] B_ {1} (X) = A_ {2} (X) D (X) + B_ {2} (X) [/ matemáticas]

También debería encontrar fácilmente que: [matemáticas] A_ {2} (X) = – 3X ^ {6} [/ matemáticas]

Repita esto varias veces hasta que quede con un polinomio [matemático] B [/ matemático] de grado [matemático] 2 [/ matemático] como máximo (el polinomio recordatorio tiene un grado menor o igual al polinomio divisor).

Entonces la solución debería ser:

[matemáticas] X ^ {10} = (A_ {1} (X) + A_ {2} (X) +… + A_ {n} (X)) D (X) + B_ {n} (X) [/ matemáticas]

Como soy flojo, usaré Sympy [2] para encontrar los términos restantes (no está permitido en su curso, utilícelo al menos para verificar su respuesta).

de sympy.abc import x
desde sympy import div
p = x ** 10
d = (x + 1) ** 3
div (p, d)
# (x ** 7 – 3 * x ** 6 + 6 * x ** 5 – 10 * x ** 4 + 15 * x ** 3 – 21 * x ** 2 + 28 * x – 36,
# 45 * x ** 2 + 80 * x + 36)

Por lo tanto, el cociente es [matemáticas] Q (X): = A_ {1} (X) + A_ {2} (X) +… + A_ {n} (X) = X ^ {7} -3X ^ {6} + 6X ^ {5} -10X ^ {4} + 15X ^ {3} -21X ^ {2} + 28X-36 [/ matemáticas]

Y el recordatorio es [matemáticas] R (X): = B_ {n} (X) = 45X ^ {2} + 80X + 36 [/ matemáticas]

Ahora puede verificar la cordura de la respuesta que encontró conectando diferentes valores (simples) de [math] X [/ math]

Para [matemática] X = -1 [/ matemática], debe encontrar [matemática] R (-1) = (- 1) ^ {10} = 1 [/ matemática], que es el caso.

Para [matemática] X = 0 [/ matemática], debe encontrar que [matemática] Q (0) + R (0) = 0 [/ matemática], que nuevamente es el caso

Espero que haya sido útil.

Notas al pie

[1] División larga polinómica – Wikipedia

[2] SymPy

Answer 2

Te daré otro método que no usa división:

Debe comprender que existe Q, a, b, c donde Q es un polinomio y a, b, c son reales, como

[matemáticas] X ^ {10} = Q * (X + 1) ^ 3 + aX² + bX + c [/ matemáticas]

Ahora, [math] (X + 1) ^ 3 [/ math] admite -1 como raíz tres veces, como resultado, nombremos P = (X + 1) ^ 3:

P (-1) = 0

P ‘(- 1) = 0

P ” (- 1) = 0

E incluso con la multiplicación por Q, eso todavía funciona.

Como resultado, tome la ecuación inicial, evalúe en -1, derive, reevalúe en -1, rederive y reevalúe en -1. Obtienes tres ecuaciones:

[matemáticas] (- 1) ^ {10} = a – b + c = 1 [/ matemáticas]

[matemáticas] 10 (-1) ^ 9 = -2a + b = -10 [/ matemáticas]

[matemáticas] 90 (-1) ^ 8 = 2a = 90 [/ matemáticas]

Resolver esto te da:

a = 45

b = 80

c = 36

Como resultado, el resto es [matemática] 45X ^ 2 + 80X + 36 [/ matemática]

Answer 3

Su idea de sustituir [matemáticas] t = x + 1 [/ matemáticas] es buena. En ese caso, necesitamos dividir [math] (t-1) ^ {10} [/ math] entre [math] t ^ 3 [/ math].

Para expandir [math] (t-1) ^ {10} [/ math], podemos usar el teorema binomial. Sin embargo, dado que estamos dividiendo entre [matemáticas] t ^ 3 [/ matemáticas], todo lo que debemos preocuparnos son los últimos tres términos:

[matemática] (t-1) ^ {10} = t ^ 3 f (t) + 45t ^ 2 – 10t + 1 [/ matemática] (donde [matemática] f (t) [/ matemática] es algún polinomio entero)

Entonces el resto es [matemática] 45t ^ 2 – 10t + 1 [/ matemática]. Ahora sustituimos [math] t = x + 1 [/ math], y la respuesta final es:

[matemática] 45 (x + 1) ^ 2 – 10 (x + 1) + 1 = \ en caja {45x ^ 2 + 80x + 36} [/ matemática]

Answer 4

Mire [math] X ^ {10} [/ math] en el anillo del cociente [math] \ mathbb {Z} [x] / \ langle (X + 1) ^ 3 \ rangle [/ math]. En este anillo, [matemáticas] X ^ 3 = -3X ^ 2 – 3X – 1 [/ matemáticas]. Entonces:

[matemáticas] X ^ 4 = -3X ^ 3 – 3X ^ 2 – X = 6X ^ 2 + 8X + 1 [/ matemáticas]

[matemática] X ^ 5 = 6X ^ 3 + 8X ^ 2 + X = -10X ^ 2 – 17X – 6 [/ matemática]

Ahora, [matemáticas] X ^ {10} = (X ^ 5) ^ 2 [/ matemáticas], y eso debería estar bien.

Answer 5

editar: sea f (x) = x ^ 10 = (x + 1) ³ + ax² + bx + c → f (-1) = a-b + c = (- 1) ^ 10 = 1

f ‘(x) = 10x ^ 9 = 3 (x + 1) ² + 2ax + b → f’ (- 1) = – 2a + b = 10 (-1) ^ 9 = -10

f “(x) = 90x ^ 8 = 6 (x + 1) + 2a → f” (- 1) = 2a = 90 → a = 45 →

-2 (45) + b = -10 → b = 90-10 = 80 →

45- (80) + c = 1 → -35 + c = 1 → c = 36

resto = 45x² + 80x + 36

Answer 6

[matemática] (t-1) ^ {10} [/ matemática] mod [matemática] t ^ 3 [/ matemática] = [matemática] 45t ^ 2-10t + 1 [/ matemática]

Luego ponga [math] x + 1 [/ math] en lugar de [math] t [/ math].