¿Por qué es importante el polinomio mínimo de una matriz?

Answer 1

Porque [math] \ bullet [/ math] Para cada matriz, el polinomio mínimo es único.

[math] \ bullet [/ math] Para cualquier matriz A, el polinomio mínimo divide las características del polinomio de A, es decir,

[matemáticas] \ space \ space deg \ space m_A (x) \ le deg \ space ch (x) [/ math]

[math] \ bullet \ space El \ space deg \ space m_A (x) = 1 [/ math] iff A es una matriz escalar. por lo tanto, si A no es escalar. Entonces, [matemáticas] grados \ espacio m_A (x) \ ge 2 [/ matemáticas]

[math] \ bullet x- \ lambda [/ math] divide [math] m_A (x) \ space o \ space m _ {\ lambda} [/ math], entonces [math] \ lambda [/ math] es un valor propio de A, es decir, cada raíz de [math] m_A (x) [/ math] es un valor propio de A que no proporciona una multiplicidad algebraica de valor propio.

[math] \ bullet [/ math] El orden de [math] \ lambda [/ math] como cero de [math] m_A (x) [/ math] puede no ser una multiplicidad algebraica de valor propio.

[math] \ bullet \ space if \ space A = [a_ {i, j}] _ {n × n} [/ math] es una matriz cuadrada de orden n, entonces ch (x) también es un factor de [math ] m_A (x) [/ math]. Por lo tanto, todos los valores propios de A sin multiplicidad algebraica pueden ser la raíz de [math] m_A (x) = 0 [/ math]

Por lo tanto, si [math] ch (x) = π (x- \ lambda_i) ^ {ni}, \ sum n_i = n, \ space then \ space, m_A (x) = π (x- \ lambda_i) ^ {mi }, \ sum m_i \ lt n [/ math]

Donde ch (x) es el polinomio de características de una matriz ‘A’.

Y [math] m_A (x) [/ math] será el polinomio mínimo de una matriz ‘A’.