¿Cada multiplicación por una matriz es una transformación lineal y, por el contrario, puede cada transformación lineal ser representada por una matriz en R ^ n?

En el caso de dimensiones finitas, sí. Deje que [matemática] U, V [/ matemática] sean espacios vectoriales de dimensiones m y n sobre un campo [matemática] K [/ matemática], [matemática] f: U \ rightarrow V [/ matemática] sea una [matemática] K [/ math] -linear mapa, y elegir bases [math] \ {\ mathbf {u} _i \} _ {i \ leq m} \ subset U, \ {\ mathbf {v} _j \} _ {j \ leq n} \ subconjunto V [/ math]. Para cada [math] \ mathbf {u} _i [/ ​​math] existen [math] (a_1, \ ldots, a_n) \ en K ^ n [/ math] tal que [math] f (\ mathbf {u} _i ) = \ sum \ limits_ {j = 1} ^ {n} a_j \ mathbf {v} _j [/ math].
Estos [math] a_j [/ math] son ​​precisamente los elementos de la columna [math] i [/ math] -th de la matriz [math] n [/ math] -by- [math] m [/ math] asociada con [matemáticas] f [/ matemáticas], con respecto a los conjuntos elegidos de vectores de base.

Uno puede repetir este proceso para cada [math] \ mathbf {u} _i [/ ​​math] para obtener el conjunto completo de componentes.

Si y si.

La multiplicación de matrices es lineal debido a la asociatividad y la distributividad con la suma de la multiplicación de números reales.

Si desea probar que cada aplicación lineal de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] es representable por una matriz, simplemente trate de pensar cuál es la imagen de una base de [math] \ mathbb {R} ^ n [/ matemáticas] sería.

Has hecho una pregunta perfecta. Y si consideramos un espacio vectorial de dimensión finita, ¡la respuesta es sí sí!

Sea V nuestro espacio vectorial de dimensión finita sobre el campo K. Como cualquier espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a [matemática] K ^ n [/ matemática] hablaremos de él exclusivamente.

Primero lo obvio: la multiplicación por una matriz es una transformación lineal. Ver las leyes de la multiplicación de matrices.

Segundo. Probemos que cada transformación lineal puede ser expresada por un producto matricial. Dejar

[matemáticas] e_1 = \ left (\ begin {array} {l} 1 \\ 0 \\ \ vdots \\ 0 \ end {array} \ right), e_2 = \ left (\ begin {array} {l} 0 \\ 1 \\ \ vdots \\ 0 \ end {array} \ right), \ dots [/ math]

Cada vector [math] x = \ left (\ begin {array} {l} x_1 \\ \ vdots \\ x_n \ end {array} \ right) = \ sum x_ie_i [/ ​​math]

Ahora tome un mapa lineal arbitrario [matemática] L: K ^ n \ a K ^ n [/ matemática].

Ahora [matemáticas] L (x) = L (\ sum x_j e_j) = \ sum x_j L (e_j) [/ matemáticas]. Ahora, por supuesto, [matemáticas] L (e_j) = \ left (\ begin {array} {l} a_ {1j} \\ \ dots \\ a_ {nj} \ end {array} \ right) = \ sum_ {i} a_ {ij} e_i [/ ​​matemáticas]

Finalmente [matemáticas] L (x) = \ sum_ {j} (\ sum_ {i} a_ {ij}) x_j = \ sum_ {i} (\ sum_ {j} a_ {ij} x_j) e_i = Ax [/ math ] donde [matemáticas] A = \ left (\ begin {array} {lll} a_ {11} & \ cdots & a_ {1n} \\ \ vdots & \ ddots & \ vdots \\ a_ {n1} & \ cdots & a_ {nn} \ end {array} \ right) [/ math].

La primera declaración es correcta y simplemente puede calcular eso.

Pero el segundo es incorrecto.

Si se supone que [math] R ^ n [/ math] significa [math] \ mathbb {R} ^ {n \ times n} [/ math] hay muchos otros campos además de [math] \ mathbb {R} [ /matemáticas].

Pero en el caso de dimensiones finitas, todavía es posible para cualquier campo al fijar 2 bases y representar las imágenes de la primera base con la segunda.

Y para el caso de dimensiones infinitas esto es, en principio, imposible.