En el caso de dimensiones finitas, sí. Deje que [matemática] U, V [/ matemática] sean espacios vectoriales de dimensiones m y n sobre un campo [matemática] K [/ matemática], [matemática] f: U \ rightarrow V [/ matemática] sea una [matemática] K [/ math] -linear mapa, y elegir bases [math] \ {\ mathbf {u} _i \} _ {i \ leq m} \ subset U, \ {\ mathbf {v} _j \} _ {j \ leq n} \ subconjunto V [/ math]. Para cada [math] \ mathbf {u} _i [/ math] existen [math] (a_1, \ ldots, a_n) \ en K ^ n [/ math] tal que [math] f (\ mathbf {u} _i ) = \ sum \ limits_ {j = 1} ^ {n} a_j \ mathbf {v} _j [/ math].
Estos [math] a_j [/ math] son precisamente los elementos de la columna [math] i [/ math] -th de la matriz [math] n [/ math] -by- [math] m [/ math] asociada con [matemáticas] f [/ matemáticas], con respecto a los conjuntos elegidos de vectores de base.
Uno puede repetir este proceso para cada [math] \ mathbf {u} _i [/ math] para obtener el conjunto completo de componentes.