Suponga que tiene alguna función [matemática] f (x, y) [/ matemática] y alguna integral [matemática] \ int_ {x = -k} ^ {k} \ int_ {y = a (x)} ^ {y = b (x)} f (x, y) dy dx [/ math] y usted es consciente de alguna transformación de coordenadas [math] u, v = T (x, y) [/ math] que reemplazará la ocurrencia desordenada de un (x) yb (x) en tus límites con algunas constantes. Esta situación le resultará familiar si alguna vez ha trabajado en un problema de física en el que tiene una función, por ejemplo, distribución de carga en el espacio, especificada en coordenadas rectangulares y necesita integrarse en un volumen cilíndrico.
Si bien la idea “reemplazar f (x, y) con g (u, v) y reemplazar los límites de acuerdo con T, y luego reemplazar dx dy con du dv” puede parecer correcta cuando se trabaja con áreas infinitesimales (no lo es, pero puede sonar plausible), considere lo que sucedería con una aproximación discreta. Suponga que u = 3 x y v = 2 y, entonces T es una matriz diagonal. Si evaluara correctamente g (u, v) en una red de puntos pero los rectángulos de su área todavía se expresaran en unidades ‘x’ e ‘y’, su respuesta sería 3 * 2 = 6 veces demasiado pequeña. Es como usar una función en pulgadas junto con medir su área en metros, los cálculos darían números demasiado pequeños de una manera predecible.
Entonces, el cambio de escala de los rectángulos a otros rectángulos implica un producto de los elementos diagonales del jacobiano. ¿Se te ocurre una función de una matriz que sea producto de diagonales en el caso de una matriz diagonal? Lo has adivinado, eso es determinante. Pero, ¿y si no es una matriz diagonal? Puede recordar del álgebra lineal que los determinantes también capturan la idea general de “área” o “volumen” con paralelogramos generales, y en general las transformaciones de coordenadas mapean hiper-rectángulos infinitesimales a paralelogramos infinitesimales. El determinante del jacobiano es reescalar de acuerdo con todas esas diferencias de área infinitesimales.
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