No. Por definición, cualquier espacio vectorial induce un álgebra tensor sobre ese espacio vectorial, y cualquier elemento del espacio vectorial es al mismo tiempo un elemento de este álgebra tensorial. Entonces, trivialmente, por definición, cada vector es también el tensor.
¿Puede ser más específico sobre cuál es la motivación detrás de su pregunta?
Actualización basada en su comentario sobre mi respuesta anterior.
Debo admitir que todavía no entiendo completamente tu pregunta. Los tensores ciertamente no son menos generales que los vectores, son más generales. Para decirlo de una manera realmente brutal, los tensores son matrices, mientras que los vectores son matrices con solo una fila (o columna). Por lo tanto, la matriz con una fila es un caso especial de matriz con muchas filas, por lo que definitivamente los tensores son objetos más generales.
- ¿Qué queremos decir con vector?
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Por otro lado, los tensores de rango dado forman un espacio vectorial y, desde este punto de vista, cada tensor es también un vector. Entonces, lo que es más general depende del punto de vista.
Pero creo que lo siguiente puede aceptarse como una respuesta definitiva.
El espacio vectorial es un conjunto abstracto de objetos que puede agregar (vector + vector = vector) o multiplicar por escalares (número * vector = vector). Por lo tanto, si [math] V [/ math] es un espacio vectorial y [math] F [/ math] es un campo de escalares (como números reales, [math] F = R) [/ math], entonces para cualquier elemento [matemática] u, v \ en V [/ matemática] y cualquier número [matemática] a, b \ en R [/ matemática], hay una operación bien definida llamada combinación lineal
[matemáticas] a \, u + b \, v [/ matemáticas]
que produce otro vector, [math] a \, u + b \, v \ en V [/ math].
En la definición del espacio vectorial, realmente no te importa la naturaleza de estos objetos. Los vectores se pueden ordenar n-tuplas de números, flechas en el plano o incluso funciones. Los vectores pueden ser lo que sea que puedas agregar y multiplicar por números.
Los tensores son mapeos que actúan sobre vectores. El caso más simple es el covector , que es un mapeo lineal que asigna un número real a cualquier vector [math] u \ in V [/ math]. Por lo tanto, un covector [math] \ alpha [/ math] es un mapeo
[matemáticas] \ alpha: V \ mapsto R, [/ matemáticas]
que asigna a un vector [math] u \ en V [/ math] un número real [math] \ alpha (u). [/ math] Además, este mapeo debe ser lineal, lo que significa
[matemáticas] \ alpha (a \, u + b \, v) = a \, \ alpha (u) + b \, \ alpha (v). [/ math]
Por supuesto, no solo hay una de esas asignaciones, hay infinitas. Todas esas asignaciones forman un espacio vectorial nuevamente. De hecho: para cualquiera de los dos codificadores [matemática] \ alfa, \ beta [/ matemática], su combinación lineal es nuevamente un codificador (es decir, un mapeo lineal sobre [matemática] V [/ matemática]).
Pero también puede decir que el vector asigna un número real a cualquier pacto, si define
[matemáticas] v (\ alpha) = \ alpha (v). [/ matemáticas]
Esta receta se conoce como el isomorfismo canónico entre el espacio vectorial [matemática] V [/ matemática] y su segundo dual [matemática] (V ^ \ star) ^ \ star [/ math], pero no voy a explicar lo que esto significa ahora.
Entonces, tensor es una generalización de vectores y covectores. El tensor de tipo [math] (p, q) [/ math] es un mapeo que toma [math] p [/ math] covectors, [math] q [/ math] vectores y les asigna un número real.
Pero, de nuevo, los tensores forman un espacio vectorial , en el sentido de la definición previa. Por lo tanto, el espacio de los tensores del tipo [math] (p, q) [/ math] sobre el espacio vectorial [math] V [/ math] es un producto tensorial
[matemáticas] T ^ p_q (V) = \ underbrace {V \ otimes \ cdots \ otimes V} _ {p} \ otimes \ underbrace {V ^ \ star \ otimes \ cdots \ otimes V ^ \ star} _ {q} ,[/matemáticas]
lo que significa que hay un procedimiento canónico para definir tensores de cierto tipo sobre cualquier espacio vectorial. El álgebra tensorial completa sobre [matemática] V [/ matemática] es simplemente una suma directa
[matemáticas] T (V) = \ bigoplus_ {p, q} T ^ p_q (V). [/ matemáticas]
Pero ya ves: el tensor de tipo [math] (1,0) [/ math] es un mapeo que toma solo un covector y devuelve un número. Pero esta es exactamente la propiedad del vector, como expliqué anteriormente.
Además, el tensor de tipo [math] (0,1) [/ math] toma un vector y devuelve un número, lo que significa que dicho tensor es un covector.
Entonces, cualquier espacio vectorial [matemática] V [/ matemática] da lugar al álgebra tensor sobre [matemática] V [/ matemática], pero [matemática] V [/ matemática] en sí misma es un subespacio de esta álgebra. Por lo tanto, cualquier vector es un caso especial del tensor.
Por otro lado, los tensores de rango dado forman un espacio vectorial, y en este sentido, cualquier tensor es un tipo especial de vector.