Cómo probar que [math] S_e ^ {\ perp} = S_o [/ math] donde el producto interno en [math] V [/ math] está definido por [math] [/ math] [math] = \ int _ {- 1} ^ {1} f (t) g (t) dt [/ math]

Answer 1

Tomemos un desvío inteligente, usando la unicidad del suplemento ortogonal. Recuerda esta propiedad:

Deje que [math] V, \ langle \, \ \ rangle [/ math] sea un espacio pre-Hilbert (también conocido como producto interno), con [math] F [/ math] que denota un subespacio de [math] V [/ math] . Si existe, el suplemento ortogonal de [math] F [/ math] es único e igual a [math] F ^ {\ perp} [/ math]

¿Ves a dónde voy? Vamos a mostrar que [math] S_e \ perp S_o [/ math], y que [math] S_e \ bigoplus S_o ​​= V [/ math]

Tome [math] (f, g) \ en S_e \ times S_o ​​[/ math]. Como [math] \ forall x \ in [-1,1], (fg) (- x) = f (-x) g (-x) = – (fg) (x) [/ math], [math] fg [/ math] es una función extraña. Esto significa que [matemáticas] f [/ matemáticas] y [matemáticas] g [/ matemáticas] son ​​ortogonales, ya que estamos integrando una función impar en un intervalo simétrico.

Entonces tenemos [math] S_e \ perp S_o [/ math], ¿qué pasa con [math] S_e \ bigoplus S_o ​​= V [/ math]? Bueno, ya tenemos [matemáticas] S_e \ cap S_o = \ {0 \} [/ matemáticas], así que todo lo que necesitamos es [matemáticas] S_e + S_o = V [/ matemáticas]

Mire esto: [math] \ forall f \ in V, \ f = f_o + f_s [/ math] donde:

• [matemáticas] \ displaystyle f_o (x) = \ frac {f (x) -f (-x)} {2} [/ matemáticas]
• [matemáticas] \ displaystyle f_e (x) = \ frac {f (x) + f (-x)} {2} [/ matemáticas]

[math] f_o [/ math] y [math] f_e [/ math] son, respectivamente, funciones pares e impares. Esto asegura que nuestra descomposición es correcta, y podemos aplicar nuestra pequeña propiedad:

[matemáticas] \ boxed {S_e ^ {\ perp} = S_o} \ tag * {} [/ math]

Dato curioso: [matemática] \ cosh [/ matemática] es “la [matemática] f_e [/ matemática]” de la función exponencial, mientras que [matemática] \ sinh [/ matemática] es su [matemática] f_o [/ matemática]

Answer 2

Primero mencionemos que si [math] 0 \ le f (x) \ in C [-1; 1] \ Rightarrow (\ int _ {- 1} ^ {1} f (x) dx = 0 \ Leftrightarrow f (x) = 0 \ forall x \ en [-1; 1]) [/ math]. Por lo tanto, [matemática] = 0 \ flecha derecha f = 0 [/ matemática]

1. [math] f \ en S_o \ Rightarrow \ int _ {- 1} ^ {1} f (x) dx = 0 [/ math] (espero que sea obvio)
2. [matemáticas] f \ en S_o, g \ en S_e \ Rightarrow fg \ en S_o \ Rightarrow = 0 \ Rightarrow S_o \ subconjunto S_e ^ \ perp [/ math]

Considere [math] f \ en S_e ^ \ perp [/ math]

Tome [matemáticas] f_e (x) = \ frac {f (x) + f (-x)} {2}, f_o (x) = \ frac {f (x) -f (-x)} {2} [ /matemáticas]. Claramente [matemáticas] f = f_o + f_e, f_o \ en S_o, f_e \ en S_e [/ matemáticas]

Ahora considere [matemáticas] = = – = 0–0 = 0 \ Rightarrow f_e = 0 \ Rightarrow f = f_o \ Rightarrow f \ en S_o [/ math]