Comencemos con la intuición física en la dimensión 3. Adivinaremos la definición general de una proyección en la dimensión n
La respuesta de sus datos es sí: la proyección de un vector [math] \ vec v [/ math] en un vector [math] \ vec u [/ math] es casi el componente de [math] \ vec v [/ math ] en la dirección de [math] \ vec u [/ math].
“La dirección de [math] \ vec u [/ math]” es una primera clave aquí: no proyecta en un vector, proyecta en una línea vectorial.
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¿Qué hay de proyectar en un avión?
Puede ver que proyectar el vector [math] \ vec x [/ math] en el plano [math] xOy [/ math] le da otro vector, a saber, [math] \ vec x ‘[/ math]. De ahí proviene el ” casi ” en el segundo párrafo: un componente es un escalar y no un vector.
Entonces, ¿cómo generalizamos esto? Bueno, hemos notado que una proyección toma un vector y devuelve otro vector, que todavía está en el mismo espacio que el vector original. Esto nos dice que una proyección es una función.
Deje que [math] p [/ math] sea una proyección. Veamos qué propiedades tendrá para poder construir una intuición de la definición general.
Primero, afirmo que [matemática] p [/ matemática] es lineal: [matemática] p (\ lambda x + \ mu y) = \ lambda p (x) + \ mu p (y) [/ matemática]. Esto lo puedes encontrar garabateando un poco, lo que te dejaré hacer para convencerte.
Nota sobre el vocabulario: [math] p: \ mathbb R ^ 3 \ to \ mathbb R ^ 3 [/ math] y es lineal? [math] p [/ math] es un endomorfismo de [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math].
En segundo lugar, está claro que si proyecta [math] \ vec x ‘[/ math] en el plano una vez más, obtendrá [math] \ vec x’ [/ math]. Lo que esto significa es para todos los vectores [matemática] x [/ matemática], [matemática] p (p (x)) = p (x) = x ‘[/ matemática]. En términos de aplicación lineal, escribimos: [matemática] p ^ 2 = p [/ matemática], donde [matemática] p ^ 2 [/ matemática] es [matemática] p [/ matemática] compuesta consigo misma.
Otra nota sobre vocabulario: en un grupo (o incluso un magma …) [matemáticas] (G, \ cdot) [/ matemáticas], un elemento [matemáticas] a \ en G [/ matemáticas] se dice idempotente iff [matemáticas] a \ cdot a = a ^ 2 = a [/ math]. Considerando el grupo de endomorfismos en [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math], decir [math] p ^ 2 = p [/ math] es precisamente decir que [math] p [/ math] es idempotente.
Esto es, de hecho, suficiente para definir una proyección. En cualquier espacio vectorial de dimensión finita. En cualquier espacio vectorial (dimensión finita o infinita).
Entonces, ¿qué es una proyección? “Proyección” es el acto de aplicar un proyector. Si quieres presumir, dices:
“Un proyector es un endomorfismo idempotente”
Ejemplos de proyectores:
- En [math] \ mathbb R ^ 3 [/ math], tome el proyector en la línea [math] Ox [/ math]:
[matemáticas] p (x, y, z) = (x, 0,0) \ etiqueta * {} [/ matemáticas]
- En [math] \ mathbb R [X] [/ math], el espacio de polinomios, tome el proyector en el espacio de polinomios pares :
[matemáticas] p (Q (X)) = \ dfrac {Q (X) + Q (-X)} {2} \ tag * {} [/ matemáticas]
(que también funciona para el espacio de funciones de variables reales)