¿Qué conceptos de álgebra lineal debes conocer para ser bueno en mecánica cuántica?

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Durante mi primer intento de aprender mecánica cuántica, diría que no aprendí mucho sobre álgebra lineal, algo que probablemente se pueda decir sobre la mayoría (o al menos un gran subconjunto) de estudiantes. Como tal, aunque pude aprender los postulados y las fórmulas y aplicarlos a varios problemas de mecánica cuántica, no aprecié completamente la relación entre la mecánica cuántica y varios conceptos del álgebra lineal (y creo que se debe a una gran razón para esto al hecho de que, básicamente, todos los libros de texto introductorios y cursos sobre mecánica cuántica comienzan enfocándose en espacios dimensionales infinitamente innumerables que pueden ser difíciles para los estudiantes para conectarse al álgebra lineal si nunca han estado expuestos al análisis funcional). Fue solo después de aprender tanto el álgebra lineal abstracta (es decir, lo que se enseña en un curso típico de división superior) como un poco de análisis funcional y luego leer a través de Shankar nuevamente que pude comenzar a hacer estas conexiones.

Entonces, para responder la pregunta, aquí hay algunos temas con los que recomendaría que se sienta cómodo para comprender realmente lo que está sucediendo en la mecánica cuántica:

• Espacios vectoriales, bases y cambios de bases. Una función de onda es un vector. Como ya mencioné (y mencionaré una vez más en mi último punto), este hecho a menudo se oscurece al introducir funciones de onda en el espacio de posición. Comprenda qué son los vectores, en qué consiste una base, qué significa cambiar las bases y el concepto de propiedades independientes de la base.
• Operadores lineales y transformaciones. Además de los estados, que están representados por vectores, también tenemos observables en mecánica cuántica. Estos están representados por operadores lineales. Como tal, debe saber qué es un operador lineal, los diferentes tipos de operadores lineales (hermitianos, positivos, unitarios, etc.), independencia de base, lo que significa encontrar el valor esperado de un operador, cómo cambiar la base de un operador, y cómo descomponer espectralmente un operador. Las transformaciones de vectores (por ejemplo, a través de la evolución o medición del tiempo) también están representadas por operadores lineales. Debe comprender la diferencia entre una transformación pasiva (como cambiar de base) y una transformación activa (como la evolución temporal de un vector u operador).
• Valores propios y vectores propios. Otro concepto de mecánica cuántica que a menudo se oscurece al comenzar en el espacio de posición es la ecuación de Schrödinger. La ecuación de Schrödinger independiente del tiempo no es más que una ecuación de valor propio para el operador hamiltoniano, mientras que la ecuación de Schrödinger dependiente del tiempo le dice cómo evolucionan los estados en el tiempo. Resolver la ecuación de Schrödinger independiente del tiempo, entonces, le permite expresar la dinámica de un estado arbitrario en términos de los valores propios de energía y los vectores propios del sistema que, por supuesto, es la técnica estándar de álgebra lineal para tratar el problema de tener un operador dentro de una función (en este caso, el operador es el hamiltoniano y la función es la función exponencial): diagonalice el operador y luego aplique la función a los elementos diagonales, es decir, los valores propios.
• Análisis funcional. No es necesario que haya dominado este tema, pero debería poder relacionar los conceptos de álgebra lineal de dimensiones finitas con espacios continuos. Entonces, cuando vea una función de onda en el espacio de posición, sepa que esto es solo una proyección de un vector de dimensión infinita sobre una base ([math] \ psi (x) [/ math] solo significa [math] \ langle x | \ psi \ rangle [/ math]) y la transformada de Fourier no es más que un cambio de base con la suma reemplazada por una integral.

La mecánica cuántica, en cierto sentido, es principalmente solo álgebra lineal con significado físico asociado a entidades matemáticas abstractas. Para simplificar demasiado, la mecánica cuántica es un problema de valor propio en un espacio vectorial que a menudo es de dimensión infinita. Entonces, para resumir, si se siente cómodo con los problemas de valores propios y comprende cómo conectar conceptos de dimensiones infinitas con conceptos de dimensiones finitas (funciones a vectores, operadores diferenciales a operadores lineales, etc.) y, por supuesto, todos los requisitos previos que acompañan esto (vectores, bases, operadores, etc.), entonces estará bien encaminado para comprender la mecánica cuántica.