Es mejor representarlos en términos de sus fasores. Esto se debe a que el uso de fasores nos permite ir y venir entre derivadas parciales y el dominio del tiempo, suponiendo que los vectores varían en el tiempo (y el espacio), lo que probablemente ocurre. Además, aunque los vectores en coordenadas rectangulares aún podrían resolverse analíticamente, podría no ser posible lograr soluciones analíticas en coordenadas esféricas o polares.
Además, no sé si existe una clase general de soluciones para el problema anterior. Sin embargo, presentaré a continuación un caso especial, es decir, supongo que [math] \ pmb {E}, [/ math] está implicando el campo eléctrico.
En cuyo caso, Hyat y Buck ofrecen una aclaración elegante particular de este problema para una onda plana uniforme en el espacio libre. Reexpresaré:
En primer lugar, las ecuaciones de Maxwell se pueden escribir en términos de [math] \ pmb {E} [/ math] y [math] \ pmb {H} [/ math] como:
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- ¿Cuál es la unidad de un vector unitario?
[matemáticas] \ bigtriangledown \ times \ pmb {H} = \ epsilon_0 \ frac {\ partial \ pmb {E}} {\ partial t} \ cdots (1) [/ math]
[math] \ bigtriangledown \ times \ pmb {E} = – \ mu_0 \ frac {\ partial \ pmb {H}} {\ partial t} \ cdots (2) [/ math]
[matemáticas] \ bigtriangledown \ cdot \ pmb {E} = 0 \ cdots (3) [/ matemáticas]
[matemáticas] \ bigtriangledown \ cdot \ pmb {H} = 0 \ cdots (4) [/ matemáticas]
El truco ahora es expresar la ecuación de Maxwell en forma fasorial. Para lograr esto, se puede aplicar la siguiente técnica.
Dado el campo vectorial:
[matemáticas] \ pmb {E} = E_x \ hat {x} + E_y \ hat {y} + E_z \ hat {z}, [/ math]
supongamos que [matemáticas] E_y = E_z = 0 [/ matemáticas] y
[matemáticas] E_x = E_ {xyz} cos (\ omega t + \ psi) \ hat {x} \ cdots (5) [/ matemáticas]
con [math] E_ {x, y, z} [/ math] es una función real de [math] x, y, z [/ math]
Y
[math] \ psi [/ math] es un ángulo de fase que es una función de [math] x, y, z [/ math] y [math] \ omega [/ math]
Luego, soltar el vector unitario [math] \ hat {x}, [/ math] [math] (5) [/ math] también se puede representar como en forma exponencial como:
[matemática] E_x = [/ matemática] Re [matemática] E_ {xyz} e ^ {j {\ omega t + \ psi}} = [/ matemática] Re [matemática] E_ {xyz} e ^ {j \ psi} e ^ {j \ omega t} \ cdots (6) [/ math]
Entonces,
[matemática] \ frac {\ parcial E_x} {\ parcial t} = [/ matemática] Re [matemática] j \ omega E_ {xyz} e ^ {j \ psi} e ^ {j \ omega t} = Re j \ omega E_ {xs} e ^ {j \ omega t} \ cdots (7) [/ math]
En (7), [matemática] E_ {xs} = E_ {xyz} e ^ {j \ psi} [/ matemática] es la notación fasorial para [matemática] E_ {x} [/ matemática].
De manera similar, la notación fasorial correspondiente para [math] \ pmb {E} [/ math] puede ser [math] \ pmb {E} _s [/ math]
De [math] (7) [/ math], se puede afirmar que tomar la derivada parcial de cualquier cantidad de campo wrt time es equivalente a multiplicar el fasor correspondiente por [math] j \ omega [/ math]
Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell [matemáticas] (1) [/ matemáticas] y [matemáticas] (2) [/ matemáticas] pueden representarse en notación fasorial como:
[matemáticas] \ bigtriangledown \ times \ pmb {H} _s = j \ omega \ epsilon_0 \ pmb {E} _s \ cdots (8) [/ math]
[matemáticas] \ bigtriangledown \ times \ pmb {E} _s = -j \ omega \ mu_0 \ pmb {H} _s \ cdots (9) [/ matemáticas]
Nuevamente, por la propiedad del producto triple vectorial, sabemos que:
[matemática] \ bigtriangledown \ times \ bigtriangledown \ times \ pmb {E} _s = \ bigtriangledown \ \ bigtriangledown \ cdot \ pmb {E} _s) – \ bigtriangledown ^ 2 \ pmb {E} _s \ cdots (10) [/ matemáticas]
Pero de la ecuación de Maxwell [matemáticas] (3), [/ matemáticas] sabemos que [matemáticas] \ bigtriangledown \ cdot \ pmb {E} = 0 [/ matemáticas]
Por lo tanto (10) se convierte en:
[matemáticas] \ bigtriangledown \ times \ bigtriangledown \ times \ pmb {E} _s = – \ bigtriangledown ^ 2 \ pmb {E} _s [/ math]
[math] \ rightarrow \ bigtriangledown ^ 2 \ pmb {E} _s = – \ bigtriangledown \ times \ bigtriangledown \ times \ pmb {E} _s \ cdots (11) [/ math]
Sustituyendo (9) en (11):
[matemáticas] \ bigtriangledown ^ 2 \ pmb {E} _s = – \ bigtriangledown \ times -j \ omega \ mu_0 \ pmb {H} = j \ omega \ mu_0 \ bigtriangledown \ times \ pmb {H} _s \ cdots (12 )[/matemáticas]
Por último, sustituyendo (8) en (12):
[matemáticas] \ bigtriangledown ^ 2 \ pmb {E} _s = j \ omega \ mu_0 j \ omega \ epsilon_0 \ pmb {E} _s [/ math]
[matemáticas] \ rightarrow \ bigtriangledown ^ 2 \ pmb {E} _s = – \ omega ^ 2 \ mu_0 \ epsilon_0 \ pmb {E} _s [/ math]
Por supuesto, esto se conoce como la ecuación de Helmholtz.