Cómo resolver el determinante

Answer 1

* A2A *

Caso 1: a = b = c = 0

Es fácil demostrar que ambos lados son cero en este caso.

Caso 2: dos de a, b, c son cero

Nuevamente, es fácil demostrar que ambos lados son cero.

Caso 3: uno de a, b, c es cero

En este caso, nuevamente es fácil demostrar que ambos lados son iguales.

Caso 4: Ninguno de los a, b, c son cero

[matemáticas] \ begin {bmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \ end {bmatrix} \ begin {bmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \ \ 1 & c & ab \ end {bmatrix} = \ begin {bmatrix} a & a ^ 2 & abc \\ b & b ^ 2 & abc \\ c & c ^ 2 & abc \ end {bmatrix} [/ math ]

Por lo tanto,

[matemáticas] \ begin {vmatrix} a & 0 & 0 \\ 0 & b & 0 \\ 0 & 0 & c \ end {vmatrix} \ begin {vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \ \ 1 & c & ab \ end {vmatrix} = \ begin {vmatrix} a & a ^ 2 & abc \\ b & b ^ 2 & abc \\ c & c ^ 2 & abc \ end {vmatrix} [/ math ]

[matemáticas] abc \ begin {vmatrix} 1 & a & bc \\ 1 & b & ca \\ 1 & c & ab \ end {vmatrix} = abc \ begin {vmatrix} 1 & a & a ^ 2 \\ 1 & b & b ^ 2 \\ 1 & c & c ^ 2 \ end {vmatrix} [/ math]

Cancelar [math] abc [/ math] desde ambos lados da la respuesta.

Answer 2

Soy un aficionado en Matrices, por lo tanto, comenzaría a tomar los determinantes de ambos lados tan pronto como vea este problema.

Aún así, es natural observar la simetría e intentar hacer coincidir los términos. (a saber. Se puede ver oralmente que la tercera columna [matemática] det [/ matemática]. de LHS y la primera columna [matemática] det. [/ matemática] de RHS son iguales y de manera similar se pueden emparejar otras. Intente hacer coincidir términos.) De lo contrario, puede seguirlo fácilmente con el enfoque determinante tradicional.

Sin embargo, indirectamente expandes un poco de las matrices por vía oral, pero nadie se daría cuenta cuando lo hiciste tan rápido en tu mente y gritabas QED en un minuto. 🙂

El enfoque tradicional (solicitado por Diganta Sengupta)

Para un mejor entendimiento,

Álgebra – Matrices – Khan Academy – 1: Álgebra – Matrices – Khan Academy – 1 – YouTube

Espero que haya ayudado.

PD: ¡ Me sorprende que hayas hecho clic incluso en esta imagen con Candy Camera! ;RE

ROFL!

Answer 3

Para 3 por 3 matrices, el determinante viene dado por
[matemáticas]
\ begin {align}
\ begin {vmatrix}
A B C \\
D y E y F \\
G & H & I
\ end {vmatrix}
& = AEI + BFG + CDH \\
& \ quad – AFH – BDI – CEG
\ end {alinear}
[/matemáticas]
La forma difícil de resolver el problema es encontrar la expresión para ABC, etc. [matemáticas] A = 3, B = 1 + \ alpha + \ beta, C = 1 + \ alpha ^ 2 + \ beta ^ 2 [/ matemáticas] etc.
y multiplicar y simplificar.

Es posible que pueda simplificar las cosas simplemente considerando la parte de mayor grado de cada término. [matemáticas] \ alpha ^ 6 [\ matemáticas] etc.

En realidad, lo más fácil es elegir un valor para α y β. No podemos tener α = 1 o β = 1 o α = β ya que esto hace que la mano derecha sea cero. Elija α = 2, β = 3. La matriz se convierte en

[matemáticas]
\ begin {vmatrix}
3 y 6 y 14 \\
6 y 14 y 36 \\
14 y 36 y 98
\ end {vmatrix}
[/matemáticas]

Calcule el determinante de esto y compárelo con el resultado que obtiene en cada parte de la opción múltiple.

Answer 4

Primero saca 2 de la primera fila.

Luego separe la matriz en 2 partes.

Uno con términos a, b, c llamados P.

Uno con los términos x, y, z llamados Q.

Básicamente tienes:

2 * | PQ |

Individualmente:

P = abc * M

Q = xyz * M

Donde M es:

1 1 1

1 1 1

1 1 1

Entonces, LHS del problema es:

2 * | (abc – xyz) * M |

= 2 * (abc – xyz) * | M |

Usando un cálculo simple, | M | = 0.

Por lo tanto demostrado.

Answer 5

Ignora que digan [math] \ alpha, \ beta \ neq 0 [/ math], ya que el determinante es una función continua en sus argumentos.

En particular, puede excluir la opción 2) ya que no hay [math] \ lim _ {\ alpha, \ beta \ to 0} \ frac {(\ alpha- \ beta) ^ 2} {\ alpha \ beta} [/ math ]
Implicaría que las composiciones de funciones continuas ([math] \ det [/ math] y las entradas de matriz son continuas en [math] \ alpha, \ beta [/ math]) no son continuas.

Elija [matemáticas] \ alpha = 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] \ beta = -1 [/ matemáticas].

Calcule [matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 3 y 0 y 2 \\
0 y 2 y 0 \\
2 y 0 y 2 \\
\ end {pmatrix} [/ math].

Restando la última columna de la primera y obtienes

[matemáticas] \ det \ begin {pmatrix} 1 y 0 y 2 \\
0 y 2 y 0 \\
0 y 0 y 2 \\
\ end {pmatrix} = 4 [/ matemáticas]

Es positivo (la otra opción implicaría que es negativo o no existe o 0).

Por lo tanto 3) debe ser una opción correcta.

Answer 6

Aqui tienes: