Deje [math] \ phi_1, \ phi_2 \ in [0,2 \ pi): \ phi_1 \ le \ phi_2 [/ math] y [math] S = \ {z \ in \ mathbb C: \ arg (z) \ en [\ phi_1, \ phi_2] \} [/ math]. ¿Cómo se verifica si [math] (S, +, \ cdot, \ mathbb R) [/ math] es un espacio vectorial?

Answer 1

Comprueba los axiomas del espacio vectorial.

Primero consideremos cuál es el conjunto subyacente. [math] S [/ math] como se definió anteriormente es una cuña del plano complejo, compuesto de todos los números complejos distintos de cero con argumentos entre [math] \ phi_1 [/ math] y [math] \ phi_2 [/ math], inclusive. Podríamos tomar [math] \ phi_1 = 0, \ phi_2 = \ pi [/ math], lo que haría que [math] S [/ math] sea el conjunto de todos los números complejos distintos de cero con una parte imaginaria no negativa (aunque posiblemente cero) .

Para verificar si tenemos un espacio vectorial, debemos determinar si el conjunto está cerrado mediante suma y multiplicación por un número real. En tu caso, no lo es. Hay varias formas de ver esto, pero ciertamente la más simple es notar que cero es un número real, pero la multiplicación por cero lo saca del conjunto (ya que el argumento de cero ni siquiera está definido).

Answer 2

Tiene 7 axiomas que deben satisfacerse, es decir, cierre bajo adición, cierre bajo multiplicación escalar, comutividad de adición, etc.

Prueba cada axioma.

Parece inverso aditivo, y el cierre bajo multiplicación escalar presenta problemas.

Answer 3

Joseph Murray tiene una buena respuesta. La otra cosa que agregaría es que está tomando prestada la suma y las multiplicaciones escalares del espacio vectorial del número complejo. [math] \ mathbb {C} [/ math] es isomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] cuando se considera como un espacio vectorial sobre [math] \ mathbb {R} [/ math]. Debería tomarse el tiempo para comprender cómo se ven los subespacios de [math] \ mathbb {R} ^ 2 [/ math] en el plano.

Luego considere cómo se vería la gráfica de los puntos en [matemática] S [/ matemática] en el plano complejo para diferentes opciones de [matemática] \ phi_1, \ phi_2 [/ matemática]. Esto lo ayudará a desarrollar su prueba o contraejemplo, según sea el caso.