¿Por qué el determinante de una matriz simétrica oblicua de un orden par es un cuadrado perfecto? ¿Cómo puedes probarlo sin la ayuda de la inducción?

Answer 1

En la mayor cantidad de palabras posible, hacemos un par de comentarios sobre los valores propios de las matrices simétricas sesgadas. Por un lado, vienen en pares negativos. Por ejemplo, de a es un valor propio, entonces también lo es -a. Aún mejor, todos los valores propios de un ssm (la edad de los acrónimos) son puramente imaginarios. Combinado entonces, si un valor propio es ai, entonces otro es -ai. Aquí está la mejor parte. El determinante de un ssm es el producto de sus valores propios. Para cada valor propio ai, hay un valor propio -ai y su producto es a². Se deduce que el producto de todos los valores propios es un cuadrado perfecto. Pero, ¿qué tiene que ver eso? Muy poco. Como dijimos, vienen en pares. Si el orden es impar, entonces hay un número impar de valores propios y, por lo tanto, uno no obtiene un emparejamiento y, por lo tanto, debe ser 0. (0i si lo desea). El determinante de un orden impar ssm es 0 es el cuadrado perfecto.