¿Cómo denota la dirección el vector unitario?

¿Estás preguntando cómo un vector unitario indica la dirección?

¿Sabes qué es un vector, en general, supongo, correcto? En la notación (x, y), por ejemplo, el vector (1,1) sería un vector en un ángulo de 45 grados desde el eje x. ¿Tienes esos conceptos básicos? (Si no es así, hágamelo saber, puedo explicar un poco más esos conceptos básicos). (Si ha aprendido radianes, 45 grados es, por supuesto, [matemáticas] \ pi / 4 [/ matemáticas]).

Entonces, un vector (como (1,1)) tiene dos “características”: una dirección y una longitud. Su dirección es de 45 grados desde el eje x, y su longitud es la raíz cuadrada de los cuadrados de sus componentes x e y. Entonces, [matemáticas] \ sqrt {1 ^ 2 + 1 ^ 2} = \ sqrt {2} [/ matemáticas]. Eso es solo el teorema de Pitágoras.

Un “vector unitario” también tiene una dirección y una longitud: la longitud = 1, y la dirección es su dirección.

Cualquier vector es solo un vector unitario en alguna dirección, multiplicado por una magnitud. Recuerde que cuando multiplica un vector por un escalar, multiplica la longitud del vector pero no cambia la dirección del vector. Entonces, con nuestro ejemplo (1,1), 5 (1,1) = (5,5). Si imagina ese vector (5,5), obviamente todavía está apuntando a un ángulo de 45 grados desde el eje x, pero ahora sale a (5,5) en lugar de (1,1). Entonces, ¿cuál es la longitud del vector (5,5)?

[matemáticas] \ sqrt {5 ^ 2 + 5 ^ 2} = \ sqrt {25 + 25} = \ sqrt {50} = \ sqrt {25 {\ cdot} 2} = 5 \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Es decir, 5 veces la longitud de (1,1), que era [math] \ sqrt {2} [/ math].

Bueno. Entonces, si tenemos un vector con longitud [math] \ sqrt {2} [/ math] y queremos una longitud de 1, ¿qué hacemos? Es decir, multiplique [math] \ sqrt {2} [/ math] por qué número obtener 1? Multiplica cualquier número por su recíproco para obtener 1, ¿verdad? (Por ejemplo, [matemática] 5 \ veces \ frac {1} {5} = 1 [/ matemática].)

Entonces, el recíproco de [math] \ sqrt {2} [/ math] es [math] \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math]. Es decir, [matemáticas] \ sqrt {2} \ veces \ frac {1} {\ sqrt {2}} = 1 [/ matemáticas].

Entonces, si tomamos (1,1), que tiene una longitud de [math] \ sqrt {2} [/ math], y lo multiplicamos por el escalar [math] \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math], obtenemos un vector con longitud 1: [math] \ frac {1} {\ sqrt {2}} (1,1) [/ math]. Este es un vector unitario, pero ¿ves ahora cómo está en la misma dirección que el original (1,1)? Simplemente cambiamos su longitud a 1 multiplicándola por el recíproco de su longitud original. Su dirección no cambió.

Si algo en mi respuesta no tiene sentido, o si tiene alguna pregunta, o si entendí mal su pregunta, hágamelo saber.

([math] \ frac {1} {\ sqrt {2}} [/ math] puede simplificarse multiplicando la parte superior e inferior por el radical en la parte inferior:

[matemáticas] \ frac {1} {\ sqrt {2}} = (\ frac {\ sqrt {2}} {\ sqrt {2}}) \ frac {1} {\ sqrt {2}} = \ frac { \ sqrt {2}} {2} [/ matemáticas]

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